Gráfico do núcleo de Dirichlet para pequenos valores de n . Em análise matemática , o núcleo de Dirichlet , nomeado em homenagem ao matemático alemão Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet , é o polinômio trigonométrico da forma D n ( x ) = 1 L ( 1 2 + ∑ k = 1 n cos k π x L ) . {\displaystyle D_{n}(x)={\frac {1}{L}}\left({\frac {1}{2}}+\sum _{k=1}^{n}\cos {\frac {k\pi x}{L}}\right).} Este polinômio trigonométrico está definido para todo n inteiro positivo e é encontrado no estudo das séries de Fourier .[ 1]
Usando-se as expressões sen z = e i z − e − i z 2 i {\displaystyle \operatorname {sen} z={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}} e cos z = e i z + e − i z 2 {\displaystyle \cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}} , o núcleo de Dirichlet pode ser escrito na forma complexa como
D n ( x ) = 1 2 L ( ∑ k = − n n e k π i x L ) {\displaystyle D_{n}(x)={\frac {1}{2L}}\left(\sum _{k=-n}^{n}e^{\frac {k\pi ix}{L}}\right)}
Propriedades Esboço de D n ( x ) {\displaystyle D_{n}(x)} para x ∈ [ − L , L ] {\displaystyle x\in [-L,L]} , mostrando a convergência para a distribuição delta de Dirac. D n ( x ) {\displaystyle D_{n}(x)} é uma função periódica e de período 2L; D n ( x ) {\displaystyle D_{n}(x)} é uma função contínua ; D n ( x ) {\displaystyle D_{n}(x)} é uma função par; ∫ − L L D n ( x ) d x = 1 {\displaystyle \int _{-L}^{L}D_{n}(x)\ dx=1} D n ( 0 ) = 2 n + 1 2 L {\displaystyle D_{n}(0)={\frac {2n+1}{2L}}} D n ( x ) = 1 2 L sen ( n + 1 2 ) π x L sen π x 2 L {\displaystyle D_{n}(x)={\frac {1}{2L}}{\frac {\operatorname {sen} \left(n+{\frac {1}{2}}\right){\frac {\pi x}{L}}}{\operatorname {sen} {\frac {\pi x}{2L}}}}} , para x ≠ 0 , ± 2 L , ± 4 L , . . . {\displaystyle x\neq 0,\pm 2L,\pm 4L,...}
Demonstração da identidade trigonométrica A identidade trigonométrica ∑ k = − n n e i k π x L = sen ( ( n + 1 / 2 ) π x L ) sen ( π x 2 L ) {\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}e^{\frac {ik\pi x}{L}}={\frac {\operatorname {sen}((n+1/2){\frac {\pi x}{L}})}{\operatorname {sen}({\frac {\pi x}{2L}})}}} enunciada acima pode ser demonstrada conforme a seguir.
A fórmula para a soma de termos em progressão geométrica é dada por: ∑ k = 0 n a r k = a 1 − r n + 1 1 − r . {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.}
Em particular, tem-se: ∑ k = − n n r k = r − n ⋅ 1 − r 2 n + 1 1 − r . {\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}r^{k}=r^{-n}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}.}
Multiplicando tanto o numerador como o denominador por r − 1 2 {\displaystyle r^{-{\frac {1}{2}}}} , obtemos: r − n − 1 / 2 r − 1 / 2 ⋅ 1 − r 2 n + 1 1 − r = r − n − 1 / 2 − r n + 1 / 2 r − 1 / 2 − r 1 / 2 . {\displaystyle {\frac {r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}={\frac {r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}}.}
No caso r = e i π x L {\textstyle r=e^{\frac {i\pi x}{L}}} esse expressão se torna: ∑ k = − n n e i k π x L = e − ( n + 1 / 2 ) i π x L − e ( n + 1 / 2 ) i π x L e − i π x 2 L − e i π x 2 L = − 2 i sen ( ( n + 1 / 2 ) x ) − 2 i sen ( x / 2 ) = sen ( ( n + 1 / 2 ) π x L ) sen ( π x 2 L ) {\displaystyle \sum _{k=-n}^{n}e^{\frac {ik\pi x}{L}}={\frac {e^{-(n+1/2){\frac {i\pi x}{L}}}-e^{(n+1/2){\frac {i\pi x}{L}}}}{e^{-{\frac {i\pi x}{2L}}}-e^{\frac {i\pi x}{2L}}}}={\frac {-2i\operatorname {sen}((n+1/2)x)}{-2i\operatorname {sen}(x/2)}}={\frac {\operatorname {sen}((n+1/2){\frac {\pi x}{L}})}{\operatorname {sen}({\frac {\pi x}{2L}})}}} como desejado.
Referências ↑ Figueiredo, Djairo Guedes de (1997). Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais Terceira ed. Rio de Janeiro: Projeto Euclides. p. 54-55. ISBN 85-244-0026-9