Em matemática, um número duplo de Mersenne é um número de Mersenne da forma
![{\displaystyle M_{M_{n}}=2^{M_{n}}-1=2^{2^{n}-1}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/974ac8699dd866ea7a15f73cd240aeb3552e911c)
onde o exponente
é também um número de Mersenne
, sendo n um natural.
Números duplos de Mersenne primos
Muitas vezes considera-se apenas os números duplos de Mersenne que são primos.
Como um número de Mersenne
é primo só se
é primo[1], então um número duplo de Mersenne
é primo apenas se
é também um número primo de Mersenne.
Os primeiros valores de p para os quais
é primo são p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89. Desses, sabe-se que
é primo para p = 2, 3, 5, 7. Para p = 13, 17, 19, já se encontraram fatores de forma explícita, ficando assim demonstrado que os números duplos de Mersenne correspondentes são compostos e não primos. Portanto, o candidato mais pequeno para ser um número duplo de Mersenne primo é
, ou seja, 22305843009213693951 − 1. Com aproximadamente 6,94 × 1017 algarismos, este número é demasiado grande para qualquer teste de primalidade dos que se conhecem na atualidade, embora se saiba que não tem nenhum fator primo menor que 4 × 1033.[2]
Aqui fica a lista dos números duplos de Mersenne primos que se conhecem na atualidade:
![{\displaystyle M_{M_{2}}=M_{3}=7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3471c7d39c45523f1579e325d3a61969d97502d5)
![{\displaystyle M_{M_{3}}=M_{7}=127}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/672bc21c85d06868bf00cd80686a2c3215e59384)
![{\displaystyle M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55ef45bb0279e6daa08112439c8f3685a398441e)
((sequência A077586 na OEIS))
Números de Catalan-Mersenne
Seja
. A sucessão definida de forma recursiva como:
- 2, M(2), M(M(2)), M(M(M(2))), M(M(M(M(2)))), ... ((sequência A007013 na OEIS))
é conhecida como "sucessão dos números de Catalan-Mersenne".[3] Diz-se[4] que ocorreu a Catalan esta sucessão depois de Lucas descobrir em 1876 que
era primo.
Embora os cinco primeiros termos da sucessão (até
) sejam primos, não se conhece qualquer método que ajude a elucidar se algum termo mais o é também.
Bibliografia
- L. E. Dickson, History of the theory of numbers, Carnegie Institute of Washington, 1919. Reimpresso por Chelsea Publishing, Nova Iorque, 1971.
Ver também
Marin Mersenne
Referências
- ↑ A demonstração está no artigo "Número de Mersenne"
- ↑ Tony Forbes, A search for a factor of MM61. Progress: 9 October 2008.
- ↑ MathWorld: Catalan-Mersenne Number
- ↑ Chris Caldwell, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists nas Prime Pages.
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Da forma a × 2b ± 1 | |
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- Octaédrico centrado
- Dodecaédrico centrado
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- Mersenne (2p − 1)
- Duplo de Mersenne 22p−1 − 1)
- Wagstaff (2p + 1)/3
- Fatorial (n! ± 1)
- Euclides (pn# + 1)
- Cullen (n·2n + 1)
- Woodall (n·2n − 1)
- Leyland (xy + yx)
- Mills (⌊A3n⌋)
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