Definição
Os Parênteses de Poisson são uma operação matemática usada em mecânica clássica e teoria dos sistemas dinâmicos para descrever a evolução temporal de uma função que depende de variáveis dinâmicas (posição e momento). Eles são definidos como:
![{\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e99b3a77668dad84f5f46806af0c70e3f81be807)
Onde
e
são funções de coordenadas generalizadas
e seus momentos conjugados
.
Propriedades algébricas
Os colchetes de Poisson possuem as seguintes propriedades:
;
;
;
;
- Anticomutatividade:
;
- Linearidade (a e b constantes):
;
- Regra da cadeia:
;
- Identidade de Jacobi:
.
Equações de Hamilton
Artigo principal: equações de Hamilton.
As equações de Hamilton são geralmente escritas como segue:
![{\displaystyle {\dot {p}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d32d5a43b220b4d891ae31cda1d28d80982bf00)
![{\displaystyle {\dot {q}}=~~{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e6cf07dadcfdcdfb48b83f22374e67bf2346b0a)
Essas equações podem ser escritas com o uso dos colchetes de Poisson:
,
com
representando o hamiltoniano
Além disso, a função
de qi, pi e t possui derivada temporal dada pela seguinte relação:
.