Em análise matemática, uma sequência de números reais é uma função real cujo domínio é o conjunto dos números naturais. O estudo destas sequências traz resultados importantes na análise matemática de funções reais. Livros de análise matemática de função reais de uma variável real, usualmente, tratam sobre sequências. [1][2] Ao decorrer deste artigo iremos nos referir a estas sequências somente usando o termo sequência.
Definição
Uma sequência de números reais é uma função real
definida no conjunto dos números naturais
. Notações usuais são:
,
,
ou, ainda, por extenso
. Ao escrever
estamos denotando apenas o termo da sequência de índice
, chamado de
-ésimo termo da sequência
.
Exemplos
a)
b)
c)
Subsequência
Diretamente relacionado a sequência temos o conceito de subsequência. Uma subsequência de
é sua restrição a um subconjunto infinito
. Denotamos tal subsequência por
ou, simplesmente,
no caso do conjunto
estar subentendido. Note que toda subsequência
de uma sequência
é uma sequência, já que está definida para
, isto é, para cada
, temos um
.
Exemplo
onde, aqui,
denota o conjunto dos números naturais pares, é uma subsequência da sequência
.
Classificação
Dizemos que uma sequência de números reais
é limitada quando existe um intervalo
tal que
para todo
. Caso contrário, ela é dita ser ilimitada. Além disso, dizemos que uma sequência
é limitada superiormente quando existe um número
tal que
para todo
. Analogamente, dizemos que uma sequência
é limitada inferiormente quando existe
tal que
. Equivalentemente, dizemos que uma sequência de números reais é limitada se, ela for limitada superiormente e inferiormente. Isto é, quando existe um número
tal que
Exemplos
(a)
é uma sequência limitada, pois
.
(b)
é uma sequência ilimitada, mas limitada inferiormente. Com efeito,
.
Sequências de números reais também são classificadas conforme o comportamento de seus termos. Uma sequência
é dita ser (monotonamente) não decrescente quando
. Ela é dita ser (monotonamente) crescente quando
. Analogamente, dizemos que
é uma sequência (monotonamente) não crescente quando
. E, dizemos que ela é (monotonamente) decrescente quando
. Em qualquer um destes casos, dizemos que a sequência é monótona.
Exemplos
(a)
é uma sequência limitada e decrescente.
(b)
é uma sequência ilimitada e crescente.
(c)
é uma sequência limitada não monótona.
Uma sequência também é classificada conforme a convergência de seus termos. Definimos a convergência de uma sequência ao tratar da definição de limite de uma sequência.
Limite de uma sequência
A noção de limite se refere à tendencia dos termos de um sequência dada quando tomamos índices grandes. Por exemplo, ao tomarmos índices grandes, vemos que os termos da sequência
são números muito próximos de zero. Isto nos dá a noção de que esta sequência de números tende para o número zero quando fazemos
tender para o infinito. Livros de Cálculo[3][4] costumam explorar a noção de limite de sequências de forma intuitiva. Aqui, apresentamos um abordagem mais formal, típica de textos de análise matemática.
Definição de limite de uma sequência
Diz-se que
é o limite da sequência de números reais
quando para todo número real
, existe
tal que se para todo índice
, tem-se
.
Convergência
Quando existe um número
que é limite de uma sequência
, dizemos que esta é uma sequência convergente. Neste caso, escrevemos
que lê-se L é o limite da sequência
quando
tende ao infinito. Escreve-se também,
quando
que lê-se
tende a
quando
tende ao infinito. Ainda, é comum dizer simplesmente que o limite da sequência
é
, tomando-se por entendido que
. Neste contexto, escreve-se
Caso não exista um tal
com a propriedade mencionada acima, dizemos que a sequência é divergente. Isto é,
é uma sequência divergente quando, para todo
, existe um número real
tal que para todo
existe um índice
tal que
ou
.
Exemplo
(a)
é uma sequência convergente. Com efeito, tomando
, vemos que para cada
podemos escolher um
tal que
. Logo, para todo índice
tem-se
.
(b)
é uma sequência divergente. Com efeito, seja
e
. Daí, temos que para todo
temos, por exemplo, que todo índice ímpar
implica
ou
. O raciocínio é análogo caso tentarmos
. Se, tomarmos
e
, então para todo
temos que os índices pares
são tais que
. Análogo para
. Assim, temos demonstrado que a sequência dada diverge.
Observação
Toda sequência convergente é limitada. De fato, Se
, então dado qualquer
existe
tal que
. Isto significa que partir de um certo índice
, a sequência é limitada inferiormente por
e limitada superiormente por
.
Agora, considerando
, temos que
Deve-se ter cuidado, pois nem toda sequência limitada é também convergente. Por exemplo, a sequência
é limitada, mas como visto no exemplo anterior, ela não é convergente.
Propriedades do limite
Limites de sequências têm uma série de propriedades. Aqui, enunciamos algumas das mais importantes (veja, por exemplo, os livros de análise matemática indicados nas referências deste artigo).
Unicidade
Se uma sequência tem um limite, ele é único.
Demonstração. |
A prova deste enunciado pode ser feita por contradição. Com efeito, seja uma sequência de números reais. Suponhamos que sejam limites de , com . Tomemos e . Como é limite de , existe tal que , para todo . Analogamente, como é limite de , existe tal que , para todo . Logo, tomando temos que para todo . Mas, isso é um absurdo, pois . Logo, . |
Observamos que se
é o limite de uma sequência dada
, então toda subsequência
também converge para
. De fato, como
sabe-se que dado
tal que
. Basta tomar
. Então sendo
.
Exemplo
converge para zero, assim como a subsequência
formada apenas pelos índices pares da sequência
.
Convergência de sequências monótonas
Toda sequência limitada e monótona é convergente:
Considere
uma sequência não crescente. Como
é limitada, então ela é limitada superiormente por
e existe um limite inferior para os termos
. Seja
, mostraremos que
. Dado
, note que
não é o ínfimo do
. Daí, temos que existe
tal que
. Assim, para todo
temos que
, pois
é não crescente e, as desigualdades anteriores provam o resultado.
Propriedades Aritméticas
Se
e
é uma sequência limitada, então
.
Sejam
e
sequências de números reais convergentes, então:
![{\displaystyle \lim(x_{n}+y_{n})=\lim x_{n}+\lim y_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98ad5e90d74b5b962a58a33ef9f5acf65053680e)
![{\displaystyle \lim(x_{n}\cdot y_{n})=\lim x_{n}\cdot \lim y_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6d6cfaa78b02bc6ee6f66171dedf823705c2561)
se ![{\displaystyle \lim y_{n}\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc74fa47c2548395bb6e72611bdae12b9701e341)
Demonstração. |
Sejam e . - Seja
. Existem tais que e . Tomando , temos que ![{\displaystyle n>n_{0}\Rightarrow |(x_{n}+y_{n})-(L_{1}+L_{2})|\leq |x_{n}-L_{1}|+|y_{n}-L_{2}|<\epsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d607f4e0b45ce8157e31e8d20cfd4bdd5eb442d0) - Basta notar que
, sendo que estes dois termos são sequências convergentes (veja resultado anterior). Segue de 1. que ![{\displaystyle \lim(x_{n}y_{n}-L_{1}L_{2})=\lim x_{n}(y_{n}-L_{2})+\lim(x_{n}-L_{1})y_{n}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ecf0e4ed02e5351219015d2d949bb5dd2c8f4b4) - Como
, vemos que é limitada. Notemos, também, que e, por 2., sabemos que . Utilizando o resultado anterior, novamente, temos ![{\displaystyle {\frac {x_{n}}{y_{n}}}-{\frac {L_{1}}{L_{2}}}\to 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5f388384eecb91c6223a3d1907ac004e291c42e) |
Teorema de Bolzano-Weierstrass
Toda sequência
limitada possui uma subsequência
convergente.
Considere
uma sequência limitada de números reais. Se o conjunto
dos termos da sequência for finito, existe pelo menos um termo
que se repete indefinidamente. Isto é, podemos tomar
de modo que
e
.
Suponha então que
não é finito. Como
é limitada, podemos supor que
, com
. Divida
em dois intervalos de comprimento
. Em, pelo menos, um destes subintervalos existem infinitos termos
.
Seja
o intervalo com esta propriedade. Divida
em dois subintervalos de comprimento
. Como antes, considere
o intervalo que contém infinitos termos
.
Continuando com este procedimento, teremos uma sequência de intervalos
tais que:
1)
.
2) O comprimento de cada
é
.
Usando o teorema dos intervalos encaixados (consultar referência[1] para prova), existe
. Tome
de modo que
. Isso pode ser feito pois existem infinitos termos
em cada
.
Dado
, considere
tal que
. Daí,
.
Como o comprimento de
é
e
, temos que
.
Portanto, considerando
, temos
. Ou seja,
.Como queríamos demonstrar.
Sequências de Cauchy
Uma sequência
é dita de Cauchy quando, dado um
, existir um
tal que para todo
com
e
, implicar que
.
Toda sequência convergente é de Cauchy.
Como
é uma sequência convergente, existe
tal que
. isto é, dado
, existe
tal que para
,
e
.
Daí,
, ou seja,
é uma sequência de Cauchy.
Toda Sequência de Cauchy é convergente
Para mostrar este segundo resultado das sequências de Cauchy, é necessário apresentar dois lemas:
1) Toda sequência de Cauchy
é limitada.
Como
é de Cauchy, tome um
fixo. Daí existirá
tal que
. Em particular, se considerarmos
, teremos que
, isto é,
. Seja
. Então,
, ou seja,
é limitada.
2) Se uma sequência de Cauchy
possui uma subsequência
tal que
, então
,
.
Sendo
de Cauchy, dado
, existe
tal que
. Como
, existe
tal que
. Seja
, tomando
, temos:
.
Agora provaremos que toda sequência de Cauchy converge.
Seja
uma sequência de Cauchy. Pelo lema 1) ela é limitada e, pelo teorema de Bolzano-Weierstrass, ela possui uma subsequência
convergente. Portanto, segue do lema 2) que
converge.
Ver também
Referências
- ↑ a b Lima, Elon Lages (2013). Curso de Análise - Volume 1 14 ed. [S.l.]: IMPA. ISBN 9788524401183
- ↑ Ávila, Geraldo (1995). Introdução à Análise Matemática. [S.l.]: Edgard Blücher. ISBN 8521201680
- ↑ Stewart, James (2013). Cálculo 5. ed. [S.l.]: Cengage Learning. ISBN 9788522112593
- ↑ Anton, Howard (2007). Cálculo - um novo horizonte 8 ed. [S.l.]: Bookman. ISBN 9788560031801