Sistema dinâmico contínuo

Um sistema dinâmico contínuo é um sistema dinâmico cujo estado evolui ao longo do espaço de estado continuamente de acordo com uma regra fixa.^[1]

Usaremos a notação abreviada ${\displaystyle {\dot {x}}}$, ${\displaystyle {\ddot {x}}}$, ${\displaystyle \ldots }$ para representar as derivadas, em ordem ao tempo, de uma função ${\displaystyle x(t)}$ que depende do tempo, e ${\displaystyle y'}$, ${\displaystyle y''}$, ${\displaystyle \ldots }$ para representar as derivadas de uma função ${\displaystyle y(x)}$ que depende de ${\displaystyle x}$.

Consideremos, por exemplo:

${\displaystyle {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}\qquad {\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\qquad y'={\frac {dy}{dx}}\qquad y''={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}$

Uma equação diferencial ordinária ou em forma abreviada, EDO é uma equação que envolve uma função de uma única variável, por exemplo, ${\displaystyle y(x)}$, e as suas derivadas; a variável ${\displaystyle x}$ pode aparecer também na equação.

Se a única derivada que aparece na equação for a derivada de primeira ordem, a equação é designada por equação diferencial ordinária de primeira ordem. Assim, a forma geral das EDO de primeira ordem é ${\displaystyle F(x,y,y')=0}$, mas vamos considerar unicamente as equações que possam ser escritas como uma ou mais equações da forma

${\displaystyle \color {red}{y'=f(x,y)}}$

Dois exemplos de EDO de primeira ordem são os seguintes:

${\displaystyle {\begin{aligned}&&y'y\cos(x)=3xy^{2}\sin(y)\\&&{\dot {y}}=3\mathrm {-5y} -y\end{aligned}}}$

a função em questão, ${\displaystyle y}$ nos dois casos, é chamada variável dependente. A variável da qual depende a função é designada de variável independente.

Na primeira equação acima, a variável independente é ${\displaystyle x}$. No segundo caso, a variável independente não aparece na equação, mas a partir da derivada ${\displaystyle {\dot {y}}}$ torna-se evidente que a variável independente é ${\displaystyle t}$.

Uma solução de uma EDO, num dado intervalo, é qualquer função ${\displaystyle f}$ de uma variável que verifique a equação, quando substituída pela variável dependente.

É possível descobrir muita informação importante sobre as soluções da equação como a partir de uma análise geométrica simples da função

${\displaystyle f(x,y)}$.

A função ${\displaystyle f(x,y)}$ define, em cada ponto do plano ${\displaystyle (x,y)}$, o declive que deverá ter uma função ${\displaystyle y(x)}$ que seja solução da EDO.

O campo de direções é um gráfico do plano ${\displaystyle (x,y)}$, onde em alguns pontos aparece um vector com declive igual ao valor de ${\displaystyle f(x,y)}$ nesse ponto. Assim, as soluções da equação diferencial deverão ser as curvas tangentes a esses vectores. Por exemplo, A figura ao lado mostra o campo de direções da equação ${\displaystyle y'=y+x}$, e uma solução.

Existem, em geral, muitas soluções de uma equação diferencial de primeira ordem. Dado um valor inicial ${\displaystyle y(x_{0})=y_{0}}$, é possível calcular a derivada ${\displaystyle y'}$ no ponto ${\displaystyle x_{0}}$, de acordo com a equação diferencial, a derivada nesse ponto é igual a ${\displaystyle f(x_{0},y_{0})}$.

E geralmente é possível encontrar uma solução particular que passe pelo ponto ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ e com derivada igual a ${\displaystyle f(x,y)}$ em cada ponto.

O problema de valor inicial:

${\displaystyle y'=f(x,y)\qquad y(x_{0})=y_{0}}$

consiste em encontrar a solução particular que passa pelo ponto ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$.

Para introduzir alguns conceitos básicos que serão essenciais , vamos analisar dois sistemas dinâmicos simples: um sistema em queda livre e um circuito RC. Nas próximas seções generalizaremos essa análise ao caso de outros sistemas, que podem aparecer em campos muito diversos, diferentes da dinâmica e da teoria de circuitos.

Consideremos primeiro o caso de um objeto que cai livremente dentro de um tubo com vácuo. Nessas condições, a única força externa que atua sobre o sistema é o seu peso, ${\displaystyle mg}$, e a segunda lei de Newton para este sistema é:

${\displaystyle ma=-mg}$

A massa do objecto é eliminada nos dois lados da equação, e a aceleração instantânea ${\displaystyle a}$ é igual à derivada da velocidade, ${\displaystyle {\dot {v}}}$. Assim, obtemos

${\displaystyle \color {YellowOrange}{{\dot {v}}=-g}}$

a aceleração será independente da massa ou forma do objecto, e igual à aceleração da gravidade, ${\displaystyle g}$. O sinal negativo é devido a estarmos a considerar o sentido positivo da velocidade (e da aceleração) de baixo para cima.

O campo de direções para a equação diferencial é formado por vetores paralelos, todos com declive igual a ${\displaystyle -g}$ (figura ao lado).

No gráfico apresentado é fácil ver que as soluções da equação são rectas com declive igual a ${\displaystyle -g}$.

A velocidade diminui continuamente a uma taxa de ${\displaystyle -9.8m/s}$ cada segundo.

A solução que se mostra na figura anterior corresponde a um objecto que foi lançado verticalmente para cima (velocidade positiva), com uma velocidade inicial de 22 m/s. A velocidade decresce até zero, aproximadamente dois segundos mais tarde, no ponto mais alto da trajetória, e continua a diminuir passando para valores negativos, que indicam que o objecto está a descer.

Se o sistema em queda livre não estiver dentro de um tubo de vácuo, existe outra força externa que não pode ser desprezada: o atrito com o ar. A força de atrito com o ar é sempre oposta à velocidade e depende da forma do objecto e do quadrado do módulo da velocidade.

A expressão matemática para essa força é

${\displaystyle F_{a}=-{\frac {1}{2}}C_{d}\rho \,A\,|v|\,v}$

onde ${\displaystyle A}$ é a área da secção transversal do objeto, ${\displaystyle \rho }$ é a massa volúmica do ar, e ${\displaystyle C_{d}}$ é uma constante, sem unidades, que depende da forma geométrica; para esferas, ${\displaystyle C_{d}}$ tem o valor de 0.5, e para um pára-quedas circular é aproximadamente ${\displaystyle 0.8}$.

O produto ${\displaystyle -|v|\,v}$ garante um sentido oposto à velocidade; se o objecto desce, ${\displaystyle v<0}$, e força de atrito será para cima (${\displaystyle -|v|\,v}$ positivo).

Se objeto sobe, ${\displaystyle v>0}$, e a força de atrito será para baixo (${\displaystyle -|v|\,v}$ negativo).

A segunda lei de Newton para o objecto em queda livre é

${\displaystyle \color {blue}{m{\dot {v}}=-mg-{\frac {1}{2}}C_{d}\rho \,A\,|v|\,v}}$

Para poder desenhar o campo de direções, será preciso substituir os valores numéricos dos parâmetros.

Alguns valores realistas para um pára-quedista são: ${\displaystyle C_{d}=0.8}$, ${\displaystyle m=70}$ kg e ${\displaystyle A=7m^{2}}$.

A aceleração da gravidade é aproximadamente ${\displaystyle g=9.8m/s^{2}}$.

A massa volúmica do ar varia com a temperatura, a umidade relativa e a altura sobre o nível do mar. À temperatura ambiente e alguns metros por cima do nível do mar, a massa volúmica do ar é aproximadamente ${\displaystyle 1.2kg/m^{3}}$.

Assim, em unidades SI, a equação é igual a

${\displaystyle {\dot {v}}=-9.8-0.048\,|v|\,v}$

Um circuito RC é constituído por um capacitor, em série com uma resistência ${\displaystyle R}$ e uma fonte de tensão com força eletromotriz constante, ${\displaystyle \varepsilon }$.

A soma algébrica das diferenças de potencial nos três elementos do circuito, deverá ser nula. A diferença de potencial na fonte é ${\displaystyle \epsilon }$, a diferença de potencial na resistência é ${\displaystyle R\,I}$ e a diferença de potencial no capacitor é ${\displaystyle Q/C}$

${\displaystyle R\,I+{\frac {Q}{C}}=\varepsilon }$

Toda a carga que passa pela resistência, ou sai de uma das armaduras do capacitor, ou é armazenada nessa armadura. Isso implica que a corrente através da resistência é igual à derivada da carga no capacitor. A equação reduz-se a uma equação diferencial para a carga no capacitor em função do tempo

${\displaystyle \color {OliveGreen}{{\dot {Q}}={\frac {\varepsilon }{R}}-{\frac {Q}{RC}}}}$

Para desenhar o campo de direções, vamos substituir alguns valores típicos dos elementos do circuito:

${\displaystyle R=4k\Omega }$, ${\displaystyle C=250nF}$ e ${\displaystyle \varepsilon =5V}$.

Convém usar um sistema de unidades apropriado, para evitar os erros numéricos associados aos números muito grandes ou muito pequenos. Usaremos unidades de micro-coulombs, ${\displaystyle \mu C}$, para a carga, e o tempo em ms.

Nesse sistema de unidades, e substituindo os valores da resistência, capacidade e força eletromotriz, a equação toma a forma

${\displaystyle {\dot {Q}}=1.25-Q}$

Considerando o sistema na expressão :

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$

Nesse caso a função ${\displaystyle f}$ não depende da variável independente ${\displaystyle t}$. Do ponto de vista físico, a evolução da variável independente não depende do instante inicial; isto é, a partir de uma velocidade inicial o movimento do sistema será exatamente o mesmo, independentemente do instante em que o sistema obteve essa velocidade inicial. Se repetirmos uma experiência de queda livre uns dias mais tarde, o resultado da experiência será o mesmo.

Do ponto de vista geométrico, as soluções formam famílias de curvas idênticas, deslocadas na direção do eixo horizontal. O campo de direções é invariante se for deslocado na horizontal (eixo do tempo).

Esse tipo de equações diferenciais, em que a função ${\displaystyle f}$ não depende da variável independente, são designadas de equações diferenciais autônomas. São equações muito importantes, pois aparecem em muitos problemas e inclusivamente nos problemas que conduzem a equações não autônomas, é sempre possível transformar as equações num sistema de equações autônomas.

Assim, a partir desta seção vamos estudar unicamente sistemas autônomos, em que as equações do sistema são equações diferenciais autônomas. Um sistema dinâmico autônomo de primeira ordem é um sistema caracterizado por:

• Uma variável dependente do tempo, ${\displaystyle x(t)}$, que designamos por variável de estado

• Uma equação diferencial ordinária, autônoma, de primeira ordem: ${\displaystyle \color {Purple}{{\dot {x}}=f(x)}}$ que define a evolução da variável de estado, a partir de um estado inicial ${\displaystyle x_{0}}$, e designaremos de equação de evolução.

Os pontos fixos de um sistema dinâmico contínuo, de primeira ordem, são os pontos onde a derivada da variável de estado é nula. Nesses pontos o estado do sistema permanece constante.

O retrato de fase de um sistema dinâmico é um esboço do campo de direções, mostrando os pontos fixos e algumas soluções que começam ou terminam nesses pontos. Os pontos fixos representam-se por meio de um ponto.

Como a derivada ${\displaystyle {\dot {x}}}$ num sistema autônomo (equação) depende apenas da variável de estado, ${\displaystyle x}$, o declive do campo de direções é o mesmo em todos os pontos com o mesmo valor de ${\displaystyle x}$.

Assim, para representar o campo de direções, basta desenhar a projeção do campo ao longo do eixo da variável de estado (eixo vertical). O retrato de fase será uma linha onde se mostram os pontos fixos e as direções das trajetórias.

O retrato de fase do campo da é apresentado na figura ao lado.

A velocidade terminal obtém-se a partir da equação da segunda lei de Newton para o objecto em queda livre, no ponto em que a derivada for igual a zero

${\displaystyle v_{\mathrm {t} }=-{\sqrt {\frac {2\,m\,g}{C_{d}\rho \,A}}}}$

Assim, neste caso, existe um único ponto fixo, correspondente à velocidade terminal.

Na região à esquerda da velocidade terminal, do retrato de fase da figura anterior, o lado direito da segunda lei de Newton para o objecto em queda livre é positivo e, portanto, a derivada da velocidade é positiva. Tal fato é indicado pela seta que aponta para a direita.

A solução que se aproxima do ponto fixo (velocidade terminal) pela esquerda, corresponde ao caso em que no instante inicial o pára-quedista está a descer com uma velocidade com módulo maior que a velocidade terminal; o pára-quedas trava a queda até que o pára-quedista alcança a velocidade terminal. O ponto fixo é um nó atrativo; todas as soluções aproximam-se dele.

No caso do circuito RC, que também é um sistema autônomo de primeira ordem, o retrato de fase é semelhante a da partícula em queda.

O ponto fixo é o ponto ${\displaystyle Q=1.25}$, que faz com que a derivada seja nula. É um nó atrativo; a carga no condensador aproximar-se-á de ${\displaystyle 1.25\mu C}$, independentemente do seu valor inicial.

Em geral, o ponto fixo localiza-se em ${\displaystyle \varepsilon \,C}$. Os valores negativos da carga representam situações em que o condensador encontra-se carregado em modo inverso à bateria.

Os métodos de resolução numérica de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,t)}$

consistem em calcular o valor da variável de estado numa sequência discreta de instantes ${\displaystyle \{t_{0},t_{1},t_{2},\ldots \}}$, usando alguma estimativa dos valores médios das derivadas durante cada intervalo de tempo ${\displaystyle [t_{i},t_{i+1}]}$, a partir da função ${\displaystyle f(x,t)}$ que é a derivada instantânea.

Podemos usar uma sequência de instantes ${\displaystyle t_{i}}$ igualmente espaçados entre si, com incremento de tempo ${\displaystyle h}$:

${\displaystyle \{t_{0},t_{0}+h,t_{0}+2h,\ldots \}\qquad t_{n}=t_{0}+nh}$

assim, substituiremos a variável contínua ${\displaystyle x(t)}$ por uma variável discreta:

${\displaystyle \color {red}{\{x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \}\qquad x_{n}=x(t_{n})=x(t_{0}+nh)}}$

O sistema contínuo é substituído por um sistema discreto. A equação de evolução desse sistema discreto dependerá do método numérico usado para fazer a estimativa do valor médio da derivada em cada intervalo ${\displaystyle [t_{n},t_{n}+h]}$.

Existem muitos métodos numéricos para resolver sistemas dinâmicos contínuos. Nesta secção apresentaremos um método muito simples, o método de Euler.

Usando a notação introduzida na equação, a definição da derivada ${\displaystyle {\dot {x}}}$, no instante ${\displaystyle t_{n}=t_{0}+nh}$, escreve-se

${\displaystyle {\dot {x}}(t_{n})=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {x(t_{n}+h)-x(t_{n})}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{h}}}$

Assim, se ${\displaystyle h}$ for suficientemente pequeno, a equação anterior conduz a uma forma aproximada de calcular ${\displaystyle x_{n+1}}$ em função do estado, ${\displaystyle x_{n}}$, e da derivada no instante ${\displaystyle t_{n}}$.

${\displaystyle x_{n+1}\approx x_{n}+h{\dot {x}}(t_{n})}$

Combinando essa aproximação com a primeira equação da seção (método de euler), , obtemos a equação do sistema discreto equivalente:

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}+hf(t_{n},x_{n})}$

A condição inicial ${\displaystyle (t_{0},x_{0})}$ permite-nos calcular ${\displaystyle (t_{1},x_{1})}$, usando a equação de recorrência , e assim sucessivamente podemos calcular ${\displaystyle (t_{2},x_{2})}$, ${\displaystyle (t_{3},x_{3})}$,etc.

É de salientar que a aproximação que se fez consiste em admitir que o valor médio da derivada ${\displaystyle {\dot {x}}}$ no intervalo ${\displaystyle [t_{n},t_{n}+h]}$ é igual ao valor da derivada no instante inicial do intervalo.

Do ponto de vista gráfico, o que estamos a fazer é deslocarmos-nos, desde o ponto ${\displaystyle (t_{0},x_{0})}$, uma distância ${\displaystyle h}$, segundo o eixo ${\displaystyle t}$, na direção do campo de direções, como se mostra na figura anterior.

Como mostra a figura, a direção do campo no ponto ${\displaystyle i}$ já não é a mesma no ponto ${\displaystyle i+1}$e, assim, a curva obtida não segue perfeitamente o campo de direções. Mas se ${\displaystyle h}$ for suficiente pequeno, obtém-se uma boa aproximação.

Existem alguns tipos de equações ordinárias de primeira ordem que podem ser resolvidas analiticamente ,as quais veremos a seguir.

Se a equação tiver a forma

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {f(x)}{g(y)}}}$

é designada por equação de variáveis separáveis. Para resolver este tipo de equação, primeiro observemos que a primitiva da função ${\displaystyle g(y)}$ pode ser calculada da seguinte forma

${\displaystyle \int g(y)\,dy=\int g(y(x)){\frac {dy}{dx}}\,dx}$

a equação diferencial pode ser escrita como

${\displaystyle g(y){\frac {dy}{dx}}=f(x)}$

a primitiva do lado esquerdo, em ordem a ${\displaystyle x}$, é igual à primitiva de ${\displaystyle g(y)}$, em ordem a ${\displaystyle y}$, como acabamos de ver; assim, temos que

${\displaystyle \int g(y)dy=\int f(x)dx+c}$

Se conseguirmos calcular as primitivas a cada lado da equação, obteremos a solução analítica da equação diferencial.

Uma equação diferencial linear, de primeira ordem, tem a forma geral

${\displaystyle \color {Blue}{{\frac {dy}{dx}}+p(x)y=f(x)}}$

onde ${\displaystyle p(x)}$ e ${\displaystyle f(x)}$ são quaisquer duas funções que dependem apenas de ${\displaystyle x}$ (podem também ser constantes).

No caso particular em que a função ${\displaystyle p}$ for uma constante ${\displaystyle a}$, o lado esquerdo terá alguma semelhança com a seguinte derivada

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}(ye^{ax})=e^{ax}(y'+ay)}$

consequentemente, se multiplicarmos os dois lados da equação diferencial por ${\displaystyle e^{ax}}$ obteremos:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dy}{dx}}(ye^{ax})=e^{ax}f(x)\\&ye^{ax}=\int e^{ax}f(x)\,dx+c\end{aligned}}}$

No caso geral em que ${\displaystyle p}$ depender de ${\displaystyle x}$, usaremos a primitiva de ${\displaystyle p(x)}$ em vez de ${\displaystyle ax}$, e o fator integrante pelo qual deveremos multiplicar a equação será

${\displaystyle \mu (x)=\exp \left[\int p(x)\,dx\right]}$

multiplicando os dois lados da equação diferencial por ${\displaystyle \mu }$ obtém-se

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}(y\mu (x))=\mu (x)f(x)\\y\mu =\int \mu (x)f(x)\,dx+c\end{aligned}}}$

Qualquer equação de primeira ordem pode ser escrita na forma ^[1]

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}}$

que conduz a

${\displaystyle -M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0}$

esta forma é semelhante à expressão da diferencial de uma função de duas variáveis

${\displaystyle dF(x,y)={\frac {\partial F}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}\,dy}$

Esta equação sugere-nos admitir que existe uma função ${\displaystyle F(x,y)}$ cujas derivadas parciais são iguais a ${\displaystyle -M(x,y)}$ e ${\displaystyle N(x,y)}$; no entanto a segunda derivada parcial de ${\displaystyle F}$ seria

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}=-{\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}}$

Assim, para que a conjectura da existência da função ${\displaystyle F(x,y)}$ seja consistente, é necessário que as funções ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle N}$ verifiquem a seguinte condição

${\displaystyle {\frac {\partial N}{\partial x}}=-{\frac {\partial M}{\partial y}}}$

nesse caso diz-se que a equação é exata e existirá uma função ${\displaystyle F(x,y)}$ tal que a equação diferencial é equivalente à condição

${\displaystyle dF(x,y)=0}$

assim, a solução geral da equação diferencial será a família de curvas

${\displaystyle F(x,y)=c}$

A função ${\displaystyle F}$ calcula-se encontrando a função cujas derivadas parciais sejam iguais a ${\displaystyle N(x,y)}$ e ${\displaystyle -M(x,y)}$.

Uma equação de primeira ordem diz-se homogênea se tiver a seguinte forma geral

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f\left({\frac {y}{x}}\right)}$

para resolver esse tipo de equação usa-se a substituição

${\displaystyle v={\frac {y}{x}}\qquad \longrightarrow \qquad {\frac {dy}{dx}}=v+x{\frac {dv}{dx}}}$

a qual torna a equação numa equação de variáveis separáveis. Para reconhecer facilmente se uma função racional é da forma ${\displaystyle f(y/x)}$ observam-se os expoentes de cada termo no numerador e denominador (soma do expoente de ${\displaystyle x}$ mais o expoente de ${\displaystyle y}$) os quais deverão ser iguais.

Por exemplo, das duas funções seguintes as duas primeiras tem a forma ${\displaystyle f(y/x)}$ mas a terceira não

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {xy^{2}-x^{3}}{yx^{2}}}\\&{\frac {y^{2}\cos(x/y)}{xy}}+5\\&{\frac {xy+y}{2+x}}\end{aligned}}}$

Um tipo de equação diferencial que pode ser reduzida a equação linear, é a chamada equação de Bernoulli, definida por

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+p(x)y^{n}=f(x)y}$

onde ${\displaystyle n}$ é um número racional, diferente de 0 e de 1. A substituição

${\displaystyle v=y^{1-n}\qquad \longrightarrow \qquad v'=(1-n)y^{-n}y'}$

transforma a equação de Bernoulli numa equação linear.

Outra equação redutível a equação linear é a equação de Riccati:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=a(x)+b(x)y+c(x)y^{2}}$

onde ${\displaystyle a(x)}$, ${\displaystyle b(x)}$ e ${\displaystyle c(x)}$ são três funções que dependem de ${\displaystyle x}$. Se conhecermos uma solução particular da equação, por exemplo ${\displaystyle y_{1}}$, a seguinte mudança de variável transformará a equação de Riccati numa equação linear ^[1]

${\displaystyle y=y_{1}+{\frac {1}{v}}\qquad \longrightarrow \qquad {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy_{1}}{dx}}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {dv}{dx}}}$

Referências

• Sistema contínuo de segunda ordem
• Sistema dinâmico não linear
• Sistema dinâmico de Liouville
• Sistema de equações lineares