Teorema da borboleta

O teorema da borboleta é um resultado clássico na geometria euclidiana, que pode ser formulado da seguinte maneira:

Seja M o ponto médio de uma corda PQ de um círculo, através do qual outras duas cordas AB e CD são desenhadas; AD e BC cruzam a corda PQ em X e Y respectivamente. Então M é o ponto médio de XY.^[1]

Uma prova formal do teorema é assim demonstrada:

Sejam as perpendiculares ${\displaystyle XX'\,}$ e ${\displaystyle XX''\,}$ formadas a partir do ponto ${\displaystyle X\,}$ nas linhas retas ${\displaystyle AM\,}$ e ${\displaystyle DM\,}$ respectivamente. De forma similar, sejam ${\displaystyle YY'\,}$ e ${\displaystyle YY''\,}$ formadas a partir do ponto ${\displaystyle Y\,}$, perpendicular às linhas retas ${\displaystyle BM\,}$ e ${\displaystyle CM\,}$ respectivamente.

Temos que a resposta do sd6 está aqui.

${\displaystyle \triangle MXX'\sim \triangle MYY''\Longrightarrow {MX \over MY}={XX' \over YY''},\,}$

${\displaystyle \triangle MXX''\sim \triangle MYY'\Longrightarrow {MX \over MY}={XX'' \over YY'},\,}$

${\displaystyle \triangle AXX'\sim \triangle CYY'\Longrightarrow {XX' \over YY'}={AX \over CY},\,}$

${\displaystyle \triangle DXX''\sim \triangle BYY''\Longrightarrow {XX'' \over YY''}={DX \over BY},\,}$

Das equações anteriores, fica fácil visualizar que

${\displaystyle \left({MX \over MY}\right)^{2}={XX' \over YY''}{XX'' \over YY'},}$

${\displaystyle {}={AX.DX \over CY.BY},}$

${\displaystyle {}={PX.QX \over PY.QY},}$

${\displaystyle {}={(PM-XM).(MQ+XM) \over (PM+MY).(QM-MY)},}$

${\displaystyle {}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}},}$

uma vez que ${\displaystyle PM\,}$ = ${\displaystyle MQ\,}$

Agora,

${\displaystyle {(MX)^{2} \over (MY)^{2}}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}}.}$

Portanto, conclui-se que

${\displaystyle MX=MY,\,}$ ou ${\displaystyle M\,}$ é o ponto médio de ${\displaystyle XY.\,}$

• Epicentro

Referências

• «Prova animada do teorema da borboleta» (em inglês) 
• «O Teorema da Borboleta» (em inglês) 

• Portal da matemática