Teorema da convergência monótona

Henri Lebesgue

Em matemática, o teorema da convergência monótona é um dos principais teoremas a respeito da integral de Lebesgue.

Enunciado

Seja f n : E → R {\displaystyle f_{n}:E\to \mathbb {R} \,} uma seqüência de funções mensuráveis tal que:

  • 0 ≤ f 1 ( x ) ≤ f 2 ( x ) ≤ … ≤ f n ( x ) ≤ … {\displaystyle 0\leq f_{1}(x)\leq f_{2}(x)\leq \ldots \leq f_{n}(x)\leq \ldots \,}

Então f := lim n → ∞ f n ( x ) = sup n f n ( x ) {\displaystyle f:=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\sup _{n}f_{n}(x)\,} é uma função mensurável e:

∫ E f ( x ) d x = lim n → ∞ ∫ E f n ( x ) d x {\displaystyle \int _{E}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}(x)dx\,}
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