Teorema da não-exclusão
Em física, o teorema da não-exclusão da teoria da informação quântica é um teorema de proibição que afirma que, em geral, dado duas cópias de algum estado quântico arbitrário, é impossível excluir uma das cópias. É um dual reverso no tempo ao teorema da não-clonagem,[1][2] o qual afirma que estados arbitrários não podem ser copiados. Foi comprovado por Arun K. Pati e Samuel L. Braunstein.[3] Intuitivamente, isso ocorre porque a informação é conservada sob evolução unitária.[4]
Este teorema parece notável, porque, em muitos sentidos, os estados quânticos são frágeis; o teorema afirma que, em um caso particular, eles também são robustos.
O teorema da não-exclusão, juntamente com o teorema da não-clonagem, fundamenta a interpretação da mecânica quântica em termos de teoria das categorias, e, em particular, como uma categoria monoidal simétrica com dual.[5][6] Esta formulação, conhecida como mecânica quântica categórica, por sua vez permite que se estabeleça uma conexão da mecânica quântica com a lógica linear como a lógica da teoria da informação quântica (em analogia exata à lógica clássica sendo fundamentada em categorias fechadas cartesianas).
Visão Geral
Suponha que existam duas cópias de um estado quântico desconhecido. Uma pergunta pertinente neste contexto é se é possível, dadas duas cópias idênticas, excluir uma delas usando operações mecânicas quânticas? Acontece que não é possível. O teorema da não-exclusão é uma consequência da linearidade da mecânica quântica. Assim como o teorema da não-clonagem, isso tem implicações importantes na computação quântica, teoria da informação quântica e na mecânica quântica em geral.
O processo de exclusão quântica leva duas cópias de um estado quântico arbitrário e desconhecido na porta de entrada e produz um estado em branco junto com o original. Matematicamente, isso pode ser descrito por:
onde é um operador unitário, é o estado quântico desconhecido, é o estado em branco, é o estado inicial da máquina de exclusão e é o estado final da máquina.
É importante notar que bits clássicos podem ser copiados e excluídos, assim como qubits em estados ortogonais. Por exemplo, se temos dois qubits idênticos e , então podemos transformá-los em e . Neste caso, excluímos a segunda cópia. No entanto, decorre da linearidade da teoria quântica que não existe um que possa realizar a operação de exclusão para qualquer estado arbitrário
Declaração Formal
Dado três espaços de Hilbert para os sistemas , tais que os espaços de Hilbert para os sistemas são idênticos.
Se é uma transformação unitária, e é um estado ancilla, tal que onde o estado final do ancilla pode depender de , então é uma operação de troca, no sentido de que o mapeamento é um embutimento isométrico.
Prova
O teorema é válido para estados quânticos em um espaço de Hilbert de qualquer dimensão. Para simplicidade, considere a transformação de exclusão para dois qubits idênticos. Se dois qubits estão em estados ortogonais, então a exclusão requer que
- ,
Seja o estado de um qubit desconhecido. Se temos duas cópias de um qubit desconhecido, então pela linearidade da transformação de exclusão temos
Na expressão acima, a seguinte transformação foi utilizada:
No entanto, se conseguíssemos excluir uma cópia, então, na porta de saída da máquina de exclusão, o estado combinado deveria ser
Em geral, esses estados não são idênticos e, portanto, podemos dizer que a máquina falha em excluir uma cópia. Se exigirmos que os estados finais de saída sejam os mesmos, veremos que há apenas uma opção:
e
Uma vez que o estado final do ancilla é normalizado para todos os valores de , deve ser verdade que e são ortogonais. Isso significa que a informação quântica está simplesmente no estado final do ancilla. Sempre é possível obter o estado desconhecido a partir do estado final do ancilla usando uma operação local no espaço de Hilbert do ancilla. Assim, a linearidade da teoria quântica não permite que um estado quântico desconhecido seja excluído perfeitamente.
Consequência
- Se fosse possível excluir um estado quântico desconhecido, então, usando dois pares de estados EPR, poderíamos enviar sinais mais rápidos que a luz. Assim, a violação do teorema da não-exclusão é inconsistente com a condição de não-sinalização.
- Os teoremas da não-clonagem e da não-exclusão apontam para a conservação da informação quântica.
- Versões mais fortes do teorema da não-clonagem e do teorema da não-exclusão proporcionam permanência à informação quântica. Para criar uma cópia, deve-se importar a informação de alguma parte do universo e para excluir um estado é necessário exportá-lo para outra parte do universo onde continuará a existir.
Ver também
- Teorema da não-transmissão
- Teorema da não-clonagem
- Teorema da não-comunicação
- Teorema da não-ocultação[7]
- Clonagem quântica
- Entrelaçamento quântico
- Informação quântica
- Teletransporte quântico
- Princípio da incerteza
- Princípio de Landauer
Referências
- ↑ W.K. Wootters and W.H. Zurek, "A Single Quantum Cannot be Cloned", Nature 299 (1982), p802.
- ↑ D. Dieks, "Communication by EPR devices", Physics Letters A, vol. 92(6) (1982), p271.
- ↑ A. K. Pati and S. L. Braunstein, "Impossibility of Deleting an Unknown Quantum State", Nature 404 (2000), p164.
- ↑ Horodecki, Michał; Horodecki, Ryszard; Sen(De), Aditi; Sen, Ujjwal (1 de dezembro de 2005). «Common Origin of No-Cloning and No-Deleting Principles Conservation of Information». Foundations of Physics (em inglês). 35 (12): 2041–2049. ISSN 1572-9516. arXiv:quant-ph/0407038
. doi:10.1007/s10701-005-8661-4
- ↑ John Baez, Physics, Topology, Logic and Computation: A Rosetta Stone (2009)
- ↑ Bob Coecke, Quantum Picturalism, (2009) ArXiv 0908.1787
- ↑ Teorema quântico da não-ocultação confirmado experimentalmente pela primeira vez. 07 de março de 2011 por Lisa Zyga