Teorema de Niven
Em matemática, o teorema de Niven (em inglês: Niven's theorem), denominado em memória de Ivan Morton Niven, estabelece que somente valores racionais de θ no intervalo 0 ≤ θ ≤ 90 para o qual o seno de θ graus é também um número racional são:[1]
Em radianos, requerendo que , seja racional e seja racional, a conclusão é então que os únicos valores são , e .
O teorema aparece como corolário 3.12 no livro de Niven sobre números irracionais.[2]
O teorema pode ser estendido a outras funções trigonométricas.[2] Para valores racionais de θ, os únicos valores racionais de seno ou cosseno são 0, ±1/2 e ±1; os únicos valores racionais da secante ou cossecante são ±1 e ±2; e os únicos valores racionais da tangente ou cotangente são 0 e ±1.
Referências
- ↑ Schaumberger, Norman (1974). «A Classroom Theorem on Trigonometric Irrationalities». Two-Year College Mathematics Journal. 5: 73–76. JSTOR 3026991
- ↑ a b Niven, Ivan (1956). Irrational Numbers. Col: The Carus Mathematical Monographs, 11. [S.l.]: Mathematical Association of America. p. 41. MR 0080123
Ver também
- Triplas pitagóricas formam triângulos retângulos onde as funções trigonométricas tem sempre valores racionais, embora os ângulos agudos não sejam racionais
- Função trigonométrica
Leitura adicional
- Olmsted, J. M. H. (1945). «Rational values of trigonometric functions». Am. Math. Monthly. 52 (9): 507–508. JSTOR 2304540
- Lehmer, Derik H. (1933). «A note on trigonometric algebraic numbers». Am. Math. Monthly. 40 (3): 165–166. JSTOR 2301023
Ligações externas
- Weisstein, Eric W. «Niven's Theorem». MathWorld (em inglês)