Ultrafiltro
Em matemática, especialmente na Teoria da ordem e na Teoria de conjuntos, um ultrafiltro é um filtro próprio maximal, ou seja, um filtro próprio que não está estritamente contido num outro filtro próprio. Ultrafiltros têm aplicações em topologia, teoria de modelos e outras áreas da matemática.
Definições
Em teoria de conjuntos, seja um conjunto não vazio e o conjunto de partes de . Um ultrafiltro tem as seguintes propriedades[1]:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/56/Hasse_diagram_of_pultrafilter.svg/220px-Hasse_diagram_of_pultrafilter.svg.png)
Ou seja, é um filtro. Além disso, é próprio:
Ou, equivalentemente:
Por último, é maximal:
Equivalentemente, em teoria da ordem ultrafiltros são filtros maximais. Ultrafiltros tem particular importância em reticulados e Álgebra de Boole. Dado um reticulado um ultrafiltro é um conjunto não vazio, estritamente contido em , definido por[2]:
Numa álgebra de Boole com máximo e mínimo , às condições anteriores são acrescentadas:
Em álgebras de Boole, ultrafiltro é o conceito dual do ideal maximal.
Ultrafiltros em álgebras de Boole
Em uma álgebra de Boole um filtro e denominado primo se satisfaz[3]:
Como pela condição 5, para cada temos que , de modo que a condição acima é equivalente a:
- [4]
Além disso, pode ser demonstrado que em toda álgebra de Boole um filtro é primo se e somente se é um ultrafiltro,[5] ou seja, as noções de filtro primo e ultrafiltro são equivalentes em álgebras de Boole e por isso alguns autores definem ultrafiltro não como um filtro maximal, mas como um filtro primo.[6]
Teorema do ultrafiltro
Na teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel com axioma da escolha, ZFC pode ser demonstrado o Teorema do ultrafiltro, cujo enunciado habitual é: "Todo filtro numa álgebra de Boole pode ser estendido a um ultrafiltro",[7] que abreviaremos TU. Ou seja, dada uma álgebra de Boole e um filtro , existe um ultrafiltro tal que . Devido à dualidade das álgebras de Boole TU é equivalente ao Teorema do ideal primo: "todo ideal numa álgebra de Boole pode ser estendido a um ideal primo".[8] Em ZF (sem o Axioma da escolha, AE) TU não pode ser demonstrado, se ZF é consistente. Entretanto, TU é estritamente mais fraco que AE em ZF:
- [9]
Em álgebras de Boole, TU é equivalente a "toda álgebra de Boole contém um ultrafiltro".
Referências
- ↑ DRAKE (1974), p. 64 e COMFORT NEGREPONTIS (1974), p. 143.
- ↑ MONK (2004), p. 14. Ver também BURRIS SANKAPPANAVAR (1981), pp. 142−143 e 148.
- ↑ POGORZELSKI WOJTYLAK (2008), p. 12.
- ↑ Essa propriedade pode ser usada para uma definição alternativa de ultrafiltro, como em KOPPELBERG (1989), p. 32.
- ↑ MONK (2004), p. 14, e BURRIS SANKAPPANAVAR (1981), pp. 148−149.
- ↑ Por exemplo: LEVY (2002), p. 253.
- ↑ DRAKE (1974), p. 64.
- ↑ LEVY (2002), p. 256.
- ↑ HALPERN LEVY (1971).
Bibliografia
- BURRIS, S.; SANKAPPANAVAR, H.P (1981). A course in universal algebra (em inglês). New York: Springer
- COMFORT, W.W.; NEGREPONTIS, S (1974). The theory of ultrafilters (em inglês). New York: Springer
- DRAKE, Frank R (1974). Set theory: An introduction to large cardinals (em inglês). Amsterdam: North-Holland
- HALPERN, J.D.; LEVY, A (1971). «The Boolean prime ideal theorem does not imply the axiom of choice». Proceedings of the Symposium in Pure Mathenatics 1967. Volume XIII. Part I: 83−134
- KOPPELBERG, Sabine (1989). General Theory of Boolean Algebras (em inglês). Amsterdam: North-Holland . Volume I de MONK BONNET (1989).
- LAWSON, M.V (1998). Inverse semigroups: the theory of partial symmetries (em inglês). [S.l.]: World Scientific. ISBN 9789810233167
- LEVY, Azriel (2002). Basic set theory (em inglês). Mineola, New York: Dover
- MONK, J.D (2004). «A brief introduction to Boolean algebras» (em inglês). Consultado em 3 de março de 2012
- MONK, J. Donald; BONNET, Robert (1989). Handbook of Boolean Algebras (em inglês). Amsterdam: North-Holland
- POGORZELSKI, W.; WOJTYLAK, P (2008). Completeness theory for propositional logics (em inglês). Basel: Birkhäuser
- SIKORSKI, Roman (1969). Boolean Algebras (em inglês). Heildelberg: Springer Verlag
- STANLEY, R.P (2002). Enumerative combinatorics (em inglês). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521663519
Veja também
- Filtro (teoria dos conjuntos)
- Ideal (teoria dos anéis)
- Ideal (teoria dos conjuntos)