Un număr întreg
se numește cel mai mare divizor comun (prescurtat c.m.m.d.c.) a numerelor întregi
și
dacă și numai dacă pentru orice divizor comun
al lui
și
,
este un divizor al lui
.
Este numit c.m.m.d.c. un număr întreg
având proprietățile:
și
(
este divizor comun al numerelor
și
); - orice alt divizor comun
al numerelor
și
divide pe
(adică (
și
)).
- Teorema:
Fie
și
două numere întregi. Atunci există exact două numere întregi opuse,
și
, cu statut de c.m.m.d.c. al numerelor
și
.
Observație: Numărul pozitiv dintre cele două se noteaza
, iar valoarea sa se calculează folosind algoritmul lui Euclid.
- Teorema:
Fie
și
două numere întregi și
un c.m.m.d.c. al lor (oricare din cei doi). Atunci există două numere întregi,
și
, astfel încât
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
.
- Exemplu:
Dacă
, atunci există numerele întregi
și
, astfel încât ![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36)
![{\displaystyle (}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ccb001e791b6a7340825e0e0b1a60e4e03f3d78)
![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36)
![{\displaystyle 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f)
.
Observatii: Două numere întregi
și
se numesc prime între ele dacă
. Deducem că două numere întregi
și
sunt prime între ele dacă și numai dacă există două numere întregi,
și
, astfel încât
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
.[1]
- Algoritmul privind calculul c.m.m.d.c.:
- Se descompun numerele în factori primi;
- Se aleg factorii primi comuni (o singură dată fiecare), cu exponentul cel mai mic și se înmulțesc între ei.
Produsul obținut este c.m.m.d.c. căutat.
- Exemplu:
,
,
,
Deci:
![{\displaystyle d=2^{2}=4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c70cbbf8a2c807aad1b1a42792c17c26d7c982e2)
Prin urmare:
![{\displaystyle d=(12,8,20)=4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14f0dbc929e3806300c31c7e5e6fabb721d522b6)
Note
- ^ Informații, definiții, teoreme, formule, exerciții și probleme rezolvate din matematica de liceu - profesoronline.ro, accesat la 3 noiembrie 2014
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg/30px-Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg.png) | Acest articol legat de matematică este deocamdată un ciot. Poți ajuta Wikipedia prin completarea lui. |