În matematică, funcțiile hiperbolice sunt analoagele funcțiilor trigonometrice, dar definite folosind hiperbola în locul cercului. La fel cum punctele (cos t, sin t) formează un cerc [cu raza de o] unitate, punctele (ch t, sh t) formează jumătatea dreaptă a unei hiperbole unitate. De asemenea, la fel cum derivatele lui sin t și cos t sunt cos t și –sin t, derivatele lui sh t și ch t sunt cosh t și +sinh t.
Funcțiile hiperbolice apar în calculele unghiurilor și distanțelor din geometrie hiperbolică. Ele apar, de asemenea, în soluțiile multor ecuații diferențiale liniare (cum ar fi ecuația care definește un lănțișor), ecuații cubice și ecuația lui Laplace în coordonate carteziene. Ecuația lui Laplace este importantă în multe domenii ale fizicii, inclusiv teoria electromagnetică, transferul de căldură, dinamica fluidelor și relativitatea restrânsă.
Notațiile acestor funcții au variat, în literatura matematică în limba română s-au folosit mult notații diferite de cele folosite în limba engleză[1] însă în prezent există o tendință de aliniere.[2] De asemenea, în literatura română funcțiile secantă hiperbolică, cosecantă hiperbolică și în bună măsură cotangentă hiperbolică nu se folosesc, fiind exprimate comod prin funcțiile cosinus hiperbolic, sinus hiperbolic și tangentă hiperbolică.
Funcțiile hiperbolice de bază și inversele lor sunt:[3][4]
O „rază” în hiperbola unitate x2 − y2 = 1 în punctul (cosh a, sinh a), unde a este dublul ariei dintre rază, hiperbolă și axa x. În punctele de pe hiperbolă sub axa x aria este considerată negativă (v. o animație de comparație cu funcțiile trigonometrice)
Argumentul unei funcții hiperbolice este un număr real, numit unghi hiperbolic. Mărimea unui unghi hiperbolic este de două ori aria sectorului său hiperbolic. Funcțiile hiperbolice pot fi definite în termenii unui triunghi hiperbolic drept care acoperă acest sector.
În analiza complexă, funcțiile hiperbolice apar ca părți imaginare ale sinusului și ale cosinusului. Sinusul hiperbolic și cosinusul hiperbolic sunt funcții întregi. Ca rezultat, celelalte funcții hiperbolice sunt meromorfe în întregul plan complex.
Funcțiile hiperbolice au fost introduse în anii 1760 independent de Vincenzo Riccati și Johann Heinrich Lambert.[7] Riccati a folosit Sc. și Cc. (din italianăsinus/cosinus circulare) pentru a se referi la funcțiile trigonometrice și Sh. și Ch. (din italianăsinus/cosinus hyperbolico) pentru a se referi la funcțiile hiperbolice. Lambert a adoptat numele, dar a modificat abrevierile cu cele utilizate astăzi.[8] Abrevierile sh, ch, th, cth sunt și ele utilizate în prezent, în funcție de preferințele personale.
Definiții
sinh, cosh și tanhcsch, sech și coth
Există diferite moduri echivalente de a defini funcțiile hiperbolice.
Definirea cu funcția exponențială
sinh x este jumătate din diferența dintre ex și e−xcosh x este media aritmetică a ex și e−x
Funcțiile hiperbolice pot fi definite ca soluții ale ecuațiilor diferențiale: sinusul și cosinusul hiperbolic sunt soluția unică (s,c) a sistemului:
astfel încât s(0) = 0 și c(0) = 1.
(Condițiile inițiale și sunt necesare deoarece orice pereche de funcții de forma este o soluție a celor două ecuații diferențiale.)
De asemenea, sinh x și cosh x sunt unica soluție a ecuației f ″(x) = f (x), astfel încât f (0) = 1, f ′(0) = 0 pentru cosinusul hiperbolic și f (0) = 0, f ′(0) = 1 pentru sinusul hiperbolic.
Definirea prin relații trigonometrice în planul complex
Definițiile de mai sus sunt legate de definițiile exponențiale prin formula lui Euler.
Proprietăți caracteristice
Cosinusul hiperbolic
Se poate arăta că aria de sub curba cosinusului hiperbolic (pe un interval finit) este întotdeauna egală cu lungimea arcului corespunzătoare acelui interval:[10]
Tangenta hiperbolică
Tangenta hiperbolică este unica soluție a ecuației diferențiale f ′ = 1 − f2, cu f (0) = 0.[11][12]
Relații uzuale
Funcțiile hiperbolice satisfac multe identități, toate similare ca formă cu identitățile trigonometrice. De fapt, regula lui Osborn[13] afirmă că se poate converti orice identitate trigonometrică în , , sau și într-o identitate hiperbolică prin dezvoltarea ei completă după puterile sinusurilor și cosinusurilor, schimbarea sinusurilor și cosinusurilor în cosinusuri, respectiv sinusuri hiperbolice și schimbarea semnului fiecărui termen care conține un produs din două sinusuri hiperbolice.
Funcții pare și impare:
de unde:
prin urmare cosh x și sech x sunt funcții pare; celelalte fiind impare.
Sinusul și cosinusul hiperbolic satisfac relațiile:
ultima fiind similară cu identitatea trigonometrică pitagoreică.
Între alte funcții există și relațiile:
Formule pentru sume
în particular
Și:
Formule pentru diferențe
Și:[14]
Formule pentru jumătatea argumentului
unde sgn este semnul funcției.
Dacă x ≠ 0, atunci[15]
Formule pentru pătratul funcțiilor
Inegalități
Următoarea inegalitate este utilă în statistici:[16]
Ea poate fi demonstrată comparând termen cu termen seriile Taylor ale celor două funcții.
Funcțiile inverse ca logaritmi
Derivate
Derivata a doua
Fiecare dintre funcțiile sinh și cosh este egală cu derivata a doua a lor, adică:
Toate funcțiile cu această proprietate sunt combinații liniare de sinh și cosh, în particular de funcțiile exponențiale și .
Integrale
Următoarele integrale pot fi demonstate cu ajutorul substituției hiperbolice:
Funcțiile de mai sus pot fi dezvoltate în serie Taylor la zero (sau serie Laurent, dacă funcția nu este definită în zero).
Această serie este convergentă pentru orice valoare complexă a x. Deoarece funcția sinh x este impară, numai exponenții impari ai lui x apar în seria sa Taylor.
Această serie este convergentă pentru orice valoare complexă a x. Deoarece funcția cosh x este pară, numai exponenții pari ai lui x apar în seria sa Taylor.
Următoarele serii sunt urmate de o descriere a unui subdomeniu al domeniului convergenței lor, în care seria este convergentă și suma sa este egală cu funcția.
unde:
este al n-lea număr Bernoulli
este al n-lea număr Euler
Comparație cu funcțiile trigonometrice
Cercul și hiperbola tangente în (1,1) arată geometria funcțiilor trigonometrice în funcție de aria u a sectorului de cerc și funcțiile hiperbolice în funcție aria u a sectorului hiperbolic
Funcțiile hiperbolice sunt o generalizare a trigonometriei dincolo de funcțiile trigonometrice. Ambele tipuri sunt în funcție de un argument, unghi, respectiv unghi hiperbolic.
Deoarece aria unui sector de cerc cu raza r și unghiul u (în radiani) este , ea va fi egală cu u când r = √2. În diagramă, un astfel de cerc este tangent la hiperbola "xy" = 1 în (1,1). Sectorul portocaliu descrie o zonă și un unghi. Similar, sectoarele portocaliu și roșu prezintă împreună zona și mărimea unghiului hiperbolic.
Catetele opuse unghiului ale celor două triunghiuri dreptunghice cu ipotenuza pe rază au lungimea de √2 ori funcțiile trigonometrică, respectiv hiperbolică.
Unghiul hiperbolic este invariant la o rotație hiperbolică, la fel cum unghiul (trigonometric) este invariant la o rotație.[17]
Funcția Gudermann oferă o relație directă între funcțiile trigonometrice și cele hiperbolice care nu implică numere complexe.
Graficul funcției a cosh(x/a) este lănțișorul, curba formată sub acțiunea gravitației uniforme de un lanț flexibil uniform, liber, agățat doar între două puncte fixe.
Relația cu funcția exponențială
Funcțiile hiperbolice se pot defini algebric in absența considerentelor geometrice legate de hiperbolă folosind funcția exponențială de argumente x și -x. Acest procedeu permite deducerea identităților:
Deoarece funcția exponențială poate fi definită pentru orice argument complex, definițiile funcțiilor hiperbolice pot fi extise la argumente complexe. Funcțiile sinh z și cosh z sunt atunci olomorfe.
Relațiile cu funcțiile trigonometrice obișnuite sunt date de formula lui Euler pentru numerele complexe:
deci:
Astfel, funcțiile hiperbolice sunt periodice în raport cu componenta imaginară, cu perioada (pentru tangenta și cotangenta hiperbolică).
Funcții hiperbolice în planul complex
Note
^ abRemus Răduleț și colab. Lexiconul Tehnic Român, ediția a doua, Editura Tehnică, București, 1957-1966, „funcții hiperbolice”
^en Robert E. Bradley, Lawrence A. D'Antonio, Charles Edward Sandifer. Euler at 300: an appreciation. Mathematical Association of America, 2007. Page 100.
^en Georg F. Becker. Hyperbolic functions. Read Books, 1931. Page xlviii.
^en „Hyperbolic Functions”. www.mathsisfun.com. Accesat în .
^en N.P., Bali (). Golden Integral Calculus. Firewall Media. p. 472. ISBN 81-7008-169-6.
^en Willi-hans Steeb (). Nonlinear Workbook, The: Chaos, Fractals, Cellular Automata, Neural Networks, Genetic Algorithms, Gene Expression Programming, Support Vector Machine, Wavelets, Hidden Markov Models, Fuzzy Logic With C++, Java And Symbolicc++ Programs (3rd Edition). World Scientific Publishing Company. p. 281. ISBN 978-981-310-648-2. Extract of page 281 (using lambda=1)
^en Keith B. Oldham; Jan Myland; Jerome Spanier (). An Atlas of Functions: with Equator, the Atlas Function Calculator (ed. 2nd, illustrated). Springer Science & Business Media. p. 290. ISBN 978-0-387-48807-3. Extract of page 290
^en Osborn, G. (iulie 1902). „Mnemonic for hyperbolic formulae”. The Mathematical Gazette. 2 (34): 189. doi:10.2307/3602492. JSTOR 3602492.
^en Martin, George E. (). The foundations of geometry and the non-euclidean plane (ed. 1st corr.). New York: Springer-Verlag. p. 416. ISBN 3-540-90694-0.
^en „Prove the identity”. StackExchange (mathematics). Accesat în .
^en Audibert, Jean-Yves (). „Fast learning rates in statistical inference through aggregation”. The Annals of Statistics. p. 1627. [1]
^en Mellen W. Haskell, "On the introduction of the notion of hyperbolic functions", Bulletin of the American Mathematical Society 1:6:155–9, full text