Gen geometric
În geometria algebrică genul geometric este un invariant birațional fundamental pg în varietățile algebrice(d) și varietățile complexe(d).
Definiție
Genul geometric poate fi definit pentru varietăți proiective complexe nesingulare și, în general, pentru varietăți complexe ca numărul Hodge(d) hn,0 (egal cu h0,n prin dualitatea Serre(d)) , adică dimensiunea sistemului liniar canonic plus unu.
Cu alte cuvinte, pentru o varietate V de dimensiune complexă n este numărul de n-forme olomorfe liniar independente care se găsesc în V.[1] Acestă definiție, ca dimensiune a lui
- H0(V,Ωn)
se transferă la orice corp de bază, când Ω este considerat familia de diferențiale Kähler(d), iar puterea este cea mai mare putere exterioară, fibratul de drepte(d) canonic(d).
Genul geometric este primul invariant pg = P1 al unui șir de invarianți Pn numiți inelul canonic.
Cazul curbelor
În cazul varietăților complexe, (locurile geometrice complexe ale) curbelor nesingulare sunt suprafețe Riemann(d). Definiția algebrică a genului este în acord cu noțiunea topologică. Pe o curbă nesingulară, fibratul de drepte canonic are gradul 2g − 2.
Noțiunea de gen apare în special în enunțul teoremei Riemann–Roch(d) și a formulei Riemann–Hurwitz. După teorema Riemann-Roch, o curbă plană ireductibilă de gradul d are genul geometric
unde s este numărul singularităților.
Dacă C este o suprafață ireductibilă (și netedă) în planul proiectiv(d) decupat de o ecuație polinomială de gradul d, atunci fibratul dreptelor sale normale este fibratul Serre (d), deci fibratul de drepte canonice al C este dat de
Genul varietăților singulare
Definiția genului geometric este transferată clasic la curbele singulare C, prin decretarea că
- pg(C)
este genul geometric al normalizării C'. Adică deoarece aplicația
- C′ → C
este birațională(d), definiția este extinsă de invarianța birațională.
Note
- ^ en Danilov & Shokurov (1998), p. 53
Bibliografie
- en P. Griffiths; J. Harris (). Principles of Algebraic Geometry. Wiley Classics Library. Wiley Interscience. p. 494. ISBN 0-471-05059-8.
- en V. I. Danilov; Vyacheslav V. Shokurov (). Algebraic curves, algebraic manifolds, and schemes. Springer. ISBN 978-3-540-63705-9.
Vezi și
- Gen (matematică)
- Gen aritmetic
![]() | Portal Matematică |