Gen geometric

În geometria algebrică genul geometric este un invariant birațional fundamental p_g în varietățile algebrice^⁠(d) și varietățile complexe^⁠(d).

Genul geometric poate fi definit pentru varietăți proiective complexe nesingulare și, în general, pentru varietăți complexe ca numărul Hodge^⁠(d) h^n,0 (egal cu h^0,n prin dualitatea Serre^⁠(d)) , adică dimensiunea sistemului liniar canonic plus unu.

Cu alte cuvinte, pentru o varietate V de dimensiune complexă n este numărul de n-forme olomorfe liniar independente care se găsesc în V.^[1] Acestă definiție, ca dimensiune a lui

H⁰(V,Ωⁿ)

se transferă la orice corp de bază, când Ω este considerat familia de diferențiale Kähler^⁠(d), iar puterea este cea mai mare putere exterioară, fibratul de drepte^⁠(d) canonic^⁠(d).

Genul geometric este primul invariant p_g = P₁ al unui șir de invarianți P_n numiți inelul canonic.

În cazul varietăților complexe, (locurile geometrice complexe ale) curbelor nesingulare sunt suprafețe Riemann^⁠(d). Definiția algebrică a genului este în acord cu noțiunea topologică. Pe o curbă nesingulară, fibratul de drepte canonic are gradul 2g − 2.

Noțiunea de gen apare în special în enunțul teoremei Riemann–Roch^⁠(d) și a formulei Riemann–Hurwitz. După teorema Riemann-Roch, o curbă plană ireductibilă de gradul d are genul geometric

${\displaystyle g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-s,}$

unde s este numărul singularităților.

Dacă C este o suprafață ireductibilă (și netedă) în planul proiectiv^⁠(d) decupat de o ecuație polinomială de gradul d, atunci fibratul dreptelor sale normale este fibratul Serre ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$(d), deci fibratul de drepte canonice al C este dat de

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{C}=\left[{\mathcal {K}}_{\mathbb {P} ^{2}}+{\mathcal {O}}(d)\right]_{\vert C}={\mathcal {O}}(d-3)_{\vert C}}$

Definiția genului geometric este transferată clasic la curbele singulare C, prin decretarea că

p_g(C)

este genul geometric al normalizării C'. Adică deoarece aplicația

C′ → C

este birațională^⁠(d), definiția este extinsă de invarianța birațională.

• en P. Griffiths; J. Harris (1994). Principles of Algebraic Geometry. Wiley Classics Library. Wiley Interscience. p. 494. ISBN 0-471-05059-8. 
• en V. I. Danilov; Vyacheslav V. Shokurov (1998). Algebraic curves, algebraic manifolds, and schemes. Springer. ISBN 978-3-540-63705-9. 

• Gen (matematică)
• Gen aritmetic

Portal Matematică