Integralele Wallis

În matematică, și mai precis în analiză, integralele Wallis sunt o familie de integrale introduse de John Wallis.

Integralele Wallis ${\displaystyle (W_{n})_{\,n\,\in \,\mathbb {N} \,}}$ sunt definite de șirurile:

${\displaystyle W_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx,}$

sau, echivalent (făcând substituția: ${\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}-t}$):

${\displaystyle W_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx}$

In particular, câțva termeni sunt în tabelul:

${\displaystyle W_{0}}$	${\displaystyle W_{1}}$	${\displaystyle W_{2}}$	${\displaystyle W_{3}}$	${\displaystyle W_{4}}$	${\displaystyle W_{5}}$	${\displaystyle W_{6}}$	${\displaystyle W_{7}}$	${\displaystyle W_{8}}$	...
${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{16}}}$	${\displaystyle {\frac {8}{15}}}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{32}}}$	${\displaystyle {\frac {16}{35}}}$	${\displaystyle {\frac {35\pi }{256}}}$	...

Integralele Wallis: ${\displaystyle W_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}\theta d\theta =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}\theta d\theta }$

pot fi calculate cu ajutorul funcțiilor beta și gamma. Conform relației ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x)}$, avem:

${\displaystyle W_{n}={\frac {1}{2}}B\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$

și avem două cazuri, pentru ${\displaystyle n=2p+1}$ și ${\displaystyle n=2p}$. Pentru aceste valori ale lui ${\displaystyle n}$ avem:

${\displaystyle W_{2p+1}={\frac {1}{2}}B\left(p+1,{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma (p+1)\Gamma ({\frac {1}{2}})}{2\Gamma (p+{\frac {3}{2}})}}={\frac {p!\Gamma ({\frac {1}{2}})}{(2p+1)\Gamma (p+{\frac {1}{2}})}}}$.

Cum însă

${\displaystyle \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {1\cdot 3\cdot 5\dots (2n-1)}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}}$ ,

obținem

${\displaystyle W_{2p+1}={\frac {2^{p}p!}{1\cdot 3\cdot 5\dots (2p+1)}}={\frac {4^{p}p!^{2}}{(2p+1)!}}}$ .

Într-un mod asemănător se calculează și

${\displaystyle W_{2p}={\frac {1}{2}}B\left(p+{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma (p+{\frac {1}{2}})\Gamma ({\frac {1}{2}})}{2\Gamma (p+1)}}}$

iar în final se obține

${\displaystyle W_{2p}={\frac {1\cdot 3\cdot 5\dots (2p-1)}{2^{p+1}p!}}\pi ={\frac {(2p)!}{4^{p}p!^{2}}}{\frac {\pi }{2}}}$.

Este ușor de observat că

${\displaystyle W_{n+2}={\frac {1}{2}}B\left({\frac {n+2+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)={\frac {1}{2}}B\left({\frac {n+1}{2}}+1,{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\frac {(n+1)}{2}}{{\frac {n}{2}}+1}}W_{n}=\left({\frac {n+1}{n+2}}\right)W_{n}}$.

Se poate considera că

${\displaystyle W_{\alpha }={\frac {1}{2}}B\left({\frac {\alpha +1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$

chiar și pentru valori reale ale lui ${\displaystyle \alpha }$ mai mari ca -1, și, ca urmare , se pot obține, folosind definiția funcției beta ^[1] , că

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {\sin \theta }}}=\int _{0}^{1}{\frac {2dt}{\sqrt {1-t^{4}}}}={\frac {\Gamma ^{2}({\frac {1}{4}})}{2{\sqrt {2\pi }}}}}$,

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\sin \theta }}d\theta =\int _{0}^{1}{\frac {2t^{2}dt}{\sqrt {1-t^{4}}}}={\frac {(2\pi )^{\frac {3}{2}}}{\Gamma ^{2}({\frac {1}{4}})}}}$.

Produsul acestor două integrale ne conduce la

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{4}}}}\int _{0}^{1}{\frac {t^{2}dt}{\sqrt {1-t^{4}}}}={\frac {\pi }{4}}}$

• Funcția beta
• Funcția gamma

• John Wallis
• Formula Wallis
• Funcția Gamma
• Integrale particulare
• The gamma and the beta function – TU Delft Arhivat în 29 mai 2015, la Wayback Machine.
• Beta Function – MathWorld