Spațiu Lp

În matematică, mai precis în analiză funcțională, spațiile L^p — numite și spații Lebesgue — sunt spații vectoriale normațe de funcții. Elementele acestor spații sunt clase de echivalență de funcții p-integrabile, iar norma, numită norma p, se definește analog cu norma p din ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Spațiile L^p, în special spațiul Hilbert L², joacă un rol esențial în mai multe domenii ale matematicii (studiul ecuațiilor diferențiale, teoria probabilităților, etc) și în aplicațiile lor (fizică, inginerie, economie, procesarea semnalelor, etc).

Fie ${\displaystyle \Omega }$ o mulțime deschisă din ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ și ${\displaystyle \mathbb {K} }$ un corp. Notăm cu ${\displaystyle \Sigma =\Sigma (\Omega )}$ tribul borelian al părților boreliene din ${\displaystyle \Omega }$, iar ${\displaystyle dx}$ este restricția măsurii lui Lebesgue n-dimensionale din ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ la ${\displaystyle \Omega }$, atunci prin definiție ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$ este ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,dx)}$. Vom considera pe spațiul ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$ norma

${\displaystyle ||f||_{p}=\left(\int |f(x)|^{p}dx\right)^{1/p},}$

care induce metrica ${\displaystyle d(f,g)=\left(\int |f(x)-g(x)|^{p}dx\right)^{1/p}}$ și față de care ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$ este un spațiu complet. Prin ${\displaystyle L_{loc}^{p}(\Omega )}$ vom înțelege mulțimea funcțiilor cu valori în ${\displaystyle \mathbb {K} }$, care sunt p-sumabile pe orice compact din ${\displaystyle \Omega }$. Elementele din ${\displaystyle L_{loc}^{p}(\Omega )}$ le vom numi funcții local p-sumabile. Rezultă imediat că ${\displaystyle L_{loc}^{p}(\Omega )}$ este un spațiul liniar cu operațiile de adunare și înmulțire cu scalari a funcțiilor. ${\displaystyle L_{loc}^{p}(\Omega )}$ devine un spațiu local convex separat cu sistemul de seminorme ${\displaystyle \{s_{K}^{p}\}_{K\subset \Omega }}$, unde K parcurge compactele din ${\displaystyle \Omega }$ și

${\displaystyle s_{K}^{p}(f)=\left(\int _{K}|f(x)|^{p}dx\right)^{1/p},f\in L^{p}(\Omega ).}$

Este ușor de verificat că pentru o exhaustiune ${\displaystyle {\{K_{m}\}}_{m}}$ cu compacte a lui ${\displaystyle \Omega }$, sistemul ${\displaystyle \{s_{K_{m}}^{p}\}_{m\in \mathbb {N} }}$ de seminorme este crescător și generează topologia local convexă inițială pe ${\displaystyle L_{loc}^{p}(\Omega )}$. De aici rezultă că ${\displaystyle L_{loc}^{p}(\Omega )}$ este metrizabil. Dacă ${\displaystyle f\in L^{p}(\Omega )}$ și ${\displaystyle K}$ este un compact oarecare în ${\displaystyle \Omega }$, din relația

${\displaystyle \int _{K}|f(x)|dx\leq \left(\int _{\Omega }|f(x)|^{p}dx\right)^{1/p}\left(\int _{K}1dx\right)^{1/p'},\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1\right)}$

rezultă că ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$ pentru orice ${\displaystyle n\geq 1}$.
Punem în evidență organizarea lui ${\displaystyle L^{1}=L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ca algebră Banach.

TEOREMA 1. Fie ${\displaystyle f,g\in L^{1}}$. Atunci pentru orice ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{n}}$, funcția ${\displaystyle x\rightarrow f(x)g(y-x)}$ este în ${\displaystyle L^{1}}$. Convoluția ${\displaystyle f*g}$ definită prin:

${\displaystyle (f*g)(y)=\int f(x)g(y-x)dx\quad (1)}$

este de asemenea o funcție din ${\displaystyle L^{1}}$ și în plus

${\displaystyle ||f*g||_{1}\leq ||f||_{1}*||g||_{1}.\quad (2)}$

Cu convoluția funcțiilor ca înmulțire, ${\displaystyle L^{1}}$ devine o algebră Banach.
Demonstrație. Pentru funcția măsurabilă pozitivă ${\displaystyle |f(x)||g(y-x)|}$, integrala iterată

${\displaystyle \int \left(\int |f(x)||g(y-x)|dy\right)dx,\quad (3)}$

este evident egală cu ${\displaystyle ||f||_{1}\cdot ||g||_{1}}$. Așadar, conform teoremei lui Fubini pentru funcții măsurabile pozitive, rezultă că există și cealaltă integrală iterată și este egală cu integrala (3), deci în particular ${\displaystyle |f(x)||g(y-x)|}$ este sumabilă ca funcție de ${\displaystyle x}$, integrala sa este măsurabilă ca funcție de ${\displaystyle y}$ și are integrala finită. Rezultă că ${\displaystyle f(x)g(y-x)}$ este absolut sumabilă și

${\displaystyle \int \left|\int f(x)g(y-x)dx\right|dy\leq \int \left(\int |f(x)||g(y-x)|dx\right)dy=||f||_{1}\cdot ||g||_{1},}$

ceea ce înseamnă ${\displaystyle ||f*g||_{1}\leq ||f||_{1}||g||_{1}.}$ Comutativitatea convoluției rezultă simplu printr-o schimbare de variabilă în integrala (1), iar asociativitatea în modul următor

${\displaystyle (f*(g*h))(x)=((h*g)*f)(x)=\int (h*g)(y)f(x-y)dy}$

${\displaystyle =\int \left(\int h(z)g(y-z)dz\right)f(x-y)dy=\int \left(\int g(y-z)f(x-y)dy\right)h(z)dz}$

${\displaystyle =\int \left(\int f(x-y)g(x-z-(x-y))dy\right)h(z)dz=\int (f*g)(x-z)h(z)dz}$

${\displaystyle =((f*g)*h)(x).\quad (4)}$

În a patra egalitate de sus am utilizat teorema generală a lui Fubini de intervertire a ordinii de integrare. Penultima egalitate s-a obținut prin schimbarea de variabilă în integrala interioară: ${\displaystyle x-y=u.}$ Distributivitatea convoluției față de adunare rezultă din liniaritatea integralei (1) prin raport cu ${\displaystyle f}$, cât și prin raport cu ${\displaystyle g.}$ Cu aceasta ${\displaystyle L^{1}}$ devine algebră Banach.
TEOREMA 2. Fie ${\displaystyle f\in L^{1}}$ și ${\displaystyle g\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n}),\quad (1\leq p<\infty ).}$ Atunci ${\displaystyle (f*g)(y)}$ este definită printr-o integrală de tipul (1) pentru aproape orice ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle f*g\in L^{p}}$ și

${\displaystyle ||f*g||_{p}\leq ||f||_{1}\cdot ||g||_{p}\quad (5).}$

Demonstrație. Pentru ${\displaystyle p=1}$ rezultatul este conținut în teorema precedentă.
Fie deci ${\displaystyle p>1}$ și ${\displaystyle p'}$ ca de obicei conjugatul lui ${\displaystyle p}$. Din inegalitatea lui Hölder avem:

${\displaystyle \int |f(x)|^{1/p}|g(y-x)||f(x)|^{1/p'}dx\leq \left(\int |f(x)||g(y-x)|^{p}dx\right)^{1/p'},}$

de unde, cum ${\displaystyle |g|^{p}\in L^{1},}$ cu teorema precendentă deducem că ${\displaystyle f*g}$ este definită și finită pentru orice ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{n}}$ și de asemenea rezultă că

${\displaystyle |(f*g)(y)|^{p}\leq \left(\int |f(x)||g(y-x)|^{p}dx\right)||f||_{1}^{p/p'}.}$

Integrând ultima inegalitate și aplicând teorema lui Fubini obținem

${\displaystyle ||f*g||_{p}^{p}\leq ||g_{x}||_{p}^{p}\cdot ||f||_{1}||f||_{1}^{p/p'},}$

de unde cu ${\displaystyle ||g||_{p}=||g_{x}||_{p},}$ obținem (5).
Cu TEOREMA 2 semnalăm că aplicațiile ${\displaystyle f\mapsto f*g}$ și ${\displaystyle g\mapsto f*g}$ sunt liniare și continue de la ${\displaystyle L^{1},}$ respectiv ${\displaystyle L^{p}}$ la ${\displaystyle L^{p}}$. În acest fel cu convoluția ca operație externă, ${\displaystyle L^{p}}$ se organizează ca modul Banach peste algebra Banach ${\displaystyle L^{1}.}$

D. GAȘPAR, P. GAȘPAR, Analiză funcțională, Ed.de Vest, Timișoara, 2009