Stelarea finală a icosaedrului
Stelarea finală a icosaedrului | |
![]() ![]() | |
Două proiecții ortogonale simetrice (model 3D) | |
Descriere | |
---|---|
Tip | poliedru stelat |
Fețe | 20 (eneagrame 9/4) |
Laturi (muchii) | 90 (30 scurte, 60 lungi) |
Vârfuri | 60 |
χ | −10 |
Configurația vârfului | 33 |
Grup de simetrie | Ih, [5,3], (*532) |
Volum | ≈411,25 a3 (a = latura scurtă) |
Poliedru dual | Marele hexacontaedru triunghiular nobil |
Proprietăți | neconvex, tranzitiv pe vârfuri și pe fețe |
Figura vârfului | |
![]() |
În geometrie stelarea finală sau completă a icosaedrului[1][2] este numită stelarea „finală” sau „completă” deoarece cuprinde toate celulele din diagrama de stelare a icosaedrului. Adică, fiecare trei plane ale fețelor nucleului icosaedric se intersectează fie într-un vârf al acestui poliedru, fie în interiorul său.
În clasificarea Wenninger acest poliedru este a șaptesprezecea stelare a icosaedrului și are indicele W42.
Ca figură geometrică are două interpretări:
- Ca poliedru stelat neregulat cu 20 de fețe identice eneagramice 9/4, 90 de muchii, 60 de vârfuri.
- Ca poliedru stea cu 180 de fețe triunghiulare (60 isoscele, 120 scalene), 270 de laturi și 92 de vârfuri. Această interpretare este utilă pentru construcția modelului fizic al poliedrului.
Istoric
![]() Marele icosaedru | Modelul lui Brückner[3] |
- 1809: Louis Poinsot a descoperit prima formă de icosaedru stelat, marele icosaedru[4]
- 1900: Max Brückner a identificat 10 stelări ale icosaedrului, inclusiv stelarea finală.[5]
- 1938: în cartea sa, The Fifty-Nine Icosahedra (în română Cele cincizeci și nouă de icosaedre), H.S.M. Coxeter, P. du Val, H.T. Flather și J.F. Petrie au făcut o enumerare sistematică a celor 59 de stelări posibile ale icosaedrului, în conformitate cu regulile lui J.C.P. Miller, stelarea finală apărând în listă în poziția a 8-a.
- 1974: Magnus Wenninger în cartea sa, Polyhedron Models, a enumerat stelarea finală ca al 17-lea mod de stelare al icosaedrului, cu indicele W42.
- 1995: Andrew Hume, în baza sa de date cu poliedre, Netlib, l-a numit echidnaedru[6] datorită asemănării cu o echidnă.
Interpretări
Ca stelare
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3b/Icosahedron_stellation_diagram_center.png/220px-Icosahedron_stellation_diagram_center.png)
Stelarea unui poliedru extinde fețele sale în plane infinite și generează un nou poliedru care este delimitat de aceste plane ca fețe și intersecțiile acestor plane ca laturi. The Fifty Nine Icosahedra enumeră stelările icosaedrului regulat, inclusiv stelarea finală, în conformitate cu regulile lui J.C.P. Miller. Simbolul lui du Val al stelării finale este H, deoarece cuprinde toate celulele din diagrama de stelare până la stratul exterior, „h”.[7]
Ca poliedru stelat
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Echidnahedron_with_enneagram_face.png/193px-Echidnahedron_with_enneagram_face.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0a/Enneagram_9-4_icosahedral.svg/191px-Enneagram_9-4_icosahedral.svg.png)
Stelarea finală poate fi văzută și ca un poliedru stelat (autointersectat), având 20 de fețe corespunzătoare celor 20 de fețe ale icosaedrului subiacent. Fiecare față este un poligon stelat neregulat, o eneagramă 9/4.[8] Deoarece în fiecare vârf se întâlnesc câte trei fețe, acesta are 20 × 9 / 3 = 60 de vârfuri (acestea se află pe stratul exterior de vârfuri vizibile și formează vârfurile „spinilor”) și 20 × 9 / 2 = 90 de laturi.
Când este privit ca un icosaedru stelat, stelarea finală este un poliedru nobil, deoarece este atât tranzitiv pe fețe, cât și tranzitiv pe vârfuri.
Ca poliedru simplu
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Complete_icosahedron_net_stella.png/220px-Complete_icosahedron_net_stella.png)
Ca poliedru simplu, cum este văzut din exterior, forma stelării finale este compusă din 180 de fețe triunghiulare, care sunt zonele triunghiulare exterioare din diagrama stelării. Acestea se unesc de-a lungul a 270 de laturi, care, la rândul lor, se întâlnesc în 92 de vârfuri. Caracteristica sa Caracteristica sa Euler este în acest caz 2.[9][10] Cele 92 de vârfuri se află pe suprafețele a trei sfere concentrice. Cel mai interior grup de 20 de vârfuri formează vârfurile unui dodecaedru regulat; următorul strat de 12 formează vârfurile unui icosaedru regulat; iar stratul exterior de 60 formează vârfurile unui icosaedru trunchiat neuniform. Razele acestor sfere sunt în raportul[9]
Interioară | Mediană | Exterioară | Toate trei |
---|---|---|---|
20 vârfuri | 12 vârfuri | 60 vârfuri | 92 vârfuri |
![]() Dodecaedru | ![]() Icosaedru | ![]() Icosaedru trunchiat neuniform | ![]() Icosaedrul stelat final |
Mărimi asociate
Când este considerat un obiect tridimensional cu lungimile laturilor , , și (unde este secțiunea de aur) icosaedrul complet are aria[9]
și volumul[9]
Note
- ^ Coxeter ș.a., 1999, p. 30–31
- ^ Wenninger, 1971, p. 65
- ^ Brückner, 1900, Taf. XI, Fig. 14
- ^ Poinsot, 1810
- ^ Brückner, 1900
- ^ en Hume, Andrew. „Polyhedron database”. Netlib. Arhivat din original la . Accesat în .
- ^ Cromwell, 1997, p. 259
- ^ Cromwell, 1997, p. 259
- ^ a b c d en Eric W. Weisstein, Echidnahedron la MathWorld.
- ^ en Echidnahedron Arhivat în , la Wayback Machine. at polyhedra.org
Bibliografie
- de Brückner, Max (). Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte. Leipzig: B.G. Treubner. ISBN 978-1-4181-6590-1.
- en Coxeter, H.S.M. (). Regular Polytopes (ed. 3rd). Dover. 3.6 6.2 Stellating the Platonic solids, p. 96–104. ISBN 0-486-61480-8.
- en Coxeter, H.S.M.; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F. () [1938]. The Fifty-Nine Icosahedra (ed. 3rd). Tarquin. ISBN 978-1-899618-32-3. MR 0676126.
- en Cromwell, Peter R. (). Polyhedra. Cambridge University Press. ISBN 0-521-66405-5.
- en Jenkins, Gerald; Bear, Magdalen (). The Final Stellation of the Icosahedron: An Advanced Mathematical Model to Cut Out and Glue Together. Tarquin Publications, Norfolk, England. ISBN 978-0-906212-48-6.
- fr Poinsot, Louis (). „Memoire sur les polygones et polyèdres”. J. de l'École Polytechnique. 9: 16–48.
- en Wheeler, A. H. (). Certain forms of the icosahedron and a method for deriving and designating higher polyhedra. Proc. Internat. Math. Congress, Toronto. 1. pp. 701–708.
- en Wenninger, Magnus J. (). Polyhedron models. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-09859-5.
Legături externe
- en With instructions for constructing a model of the echidnahedron (.doc) by Ralph Jones
- en Towards stellating the icosahedron and faceting the dodecahedron by Guy Inchbald
- en Eric W. Weisstein, Fifty nine icosahedron stellations la MathWorld.
- en Stellations of the icosahedron
- en 59 Stellations of the Icosahedron
![]() | Portal Matematică |
- en Model VRML Arhivat în , la Wayback Machine.
- en Netlib: Polyhedron database, model 141
Selecție din cele 59 de posibile stelări ale icosaedrului | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Regulat | Duale ale uniformelor | Compuși regulați | Stelare regulată | Altele | |||||
Icosaedru (convex) | Micul icosaedru triambic | Marele icosaedru triambic | Compus de cinci octaedre | Compus de cinci tetraedre | Compus de zece tetraedre | Marele icosaedru | Dodecaedru excavat | Stelarea finală | |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
Procesul de stelare al icosaedrului creează un număr de poliedre și compuși înrudiți, cu simetrie icosaedrică. |