Teorema lui Darboux (analiză matematică)

A nu se confunda cu teorema lui Darboux din cadrul geometriei diferențiale.

Teorema lui Darboux (numită și Teorema valorilor intermediare) este o teoremă din analiza matematică, care poartă numele lui Jean Gaston Darboux.

Fie ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} \!}$ un interval și ${\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb {R} \!}$ o funcție. Vom spune că f are proprietatea Darboux dacă:

${\displaystyle \forall a,b\in I,\;a<b\!}$ și ${\displaystyle \forall \gamma \!}$ cuprins între f(a) și f(b), există ${\displaystyle c\in (a,b)\!}$ astfel încât ${\displaystyle f(c)=\gamma .\!}$

Vom nota cu ${\displaystyle {\mathcal {Da}}(I)\!}$ mulțimea tuturor funcțiilor ${\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb {R} \!}$ care au proprietatea Darboux.

Fie E un interval. Funcția continuă ${\displaystyle f:E\rightarrow \mathbb {R} \!}$ are proprietatea lui Darboux pe interval dacă:

  Pentru ${\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {R} \!}$ situat între ${\displaystyle f(a)\!}$ și ${\displaystyle f(b)\!}$ ecuația ${\displaystyle f(x)=\lambda \!}$ are cel puțin o soluție ${\displaystyle x_{\lambda }\!}$ în intervalul ${\displaystyle (a,b).\!}$

Fie I interval și funcția f:I→R derivabilă. Atunci f' are proprietatea lui Darboux.

Funcția ${\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb {R} \!}$ are proprietatea Darboux ${\displaystyle \Leftrightarrow \;\forall a,b\in I,\;a<b,\!}$ mulțimea valorilor funcției f pe [a, b], adică mulțimea ${\displaystyle f([a,b]),\!}$ conține toate numerele reale cuprinse între f(a) și f(b).

Altfel spus, o functie cu proprietatea lui Darboux transforma orice interval intr-un interval.

Portal Matematică

• Teoreme de medie
• Teorema de medie a lui Cauchy