Teorema lui Euler (geometrie)
Teorema lui Euler din geometrie stabilește relația dintre distanța între centrul cercului circumscris unui triunghi și centrul cercului înscris în acel triunghi și razele acestor cercuri.
Enunț
Fie triunghiul ABC. Notând:
- O - centrul cercului circumscris triunghiului
- I - centrul cercului înscris în triunghi
- R - raza cercului circumscris
- r - raza cercului înscris
- d - distanța dinte O și I
Atunci e valabilă următoarea egalitate:
- .
De aici, rezultă și inegalitatea lui Euler:
- .
Demonstrație
Se notează:
- L - punctul în care bisectoarea AI intersectează a doua oară cercul circumscris
- M - punctul diametral opus lui L
- D - proiecția lui I pe latura
- P, Q - punctele în care dreapta OI intersectează cercul circumscris.
- - unghiurile triunghiului
Triunghiurile dreptunghice sunt asemenea. Se obține:
- .
De aici:
Mai departe:
- .
Dar
Așadar, triunghiul este isoscel. Deci
Relația (1) devine:
Dar puterea punctului I față de cercul circumscris poate fi scrisă în două moduri:
Ținând cont că , înlocuind în (2), se obține:
- .
Bibliografie
- Nicolescu, L.; Boskoff, V. - Probleme practice de geometrie, Editura Tehnică, București, 1990
Legături externe
![]() | Portal Matematică |
- en Teorema lui Euler la MathWorld