Triunghi de aur
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/81/Golden_Triangle.svg/220px-Golden_Triangle.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fe/GoldenGnomon.png/220px-GoldenGnomon.png)
Triunghiul de aur, numit și triunghiul sublim,[1] este un triunghi isoscel în care raportul dintre lungimile celor două laturi egale și a bazei este egal cu secțiunea de aur φ:
- .
Unghiuri
Triunghiul de aur este un triunghi isoscel ascuțitunghic cu unghiul apexului de:[2]
Deoarece suma unghiurilor unui triunghi este radiani, fiecare dintre unghiurile de la bază (CBX și CXB) este:[1]
Notă:
Triunghiul de aur este identificat în mod unic ca fiind singurul triunghi care are cele trei unghiuri în raportul 1 : 2 : 2 (36°, 72°, 72°).[3]
În alte figuri geometrice
- Triunghiurile de aur pot fi găsite în vârfurile pentagramelor regulate.
- Triunghiurile de aur pot fi găsite și într-un decagon regulat prin conectarea oricăror două vârfuri adiacente la centru. Acest lucru se datorează faptului că: 180(10−2)/10 = 144° este unghiul interior, iar bisectoarea unghiului de vârf dă: 144/2 = 72°.[1]
- De asemenea, triunghiurile de aur se găsesc în mai multe stelări ale dodecaedrelor și icosaedrelor.
Spirală logaritmică
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b9/Golden_triangle_and_Fibonacci_spiral.svg/220px-Golden_triangle_and_Fibonacci_spiral.svg.png)
Triunghiul de aur este folosit pentru a forma unele puncte ale unei spirale logaritmice. Prin divizarea în două a unuia dintre unghiurile de bază se creează un nou punct care, la rândul său, formează un alt triunghi de aur.[4] Procesul poate fi continuat la nesfârșit, creând un număr infinit de triunghiuri de aur. O spirală logaritmică poate fi trasată prin aceste vârfuri. Această spirală este cunoscută și sub numele de spirală echiunghiulară, termen creat de René Descartes. „Dacă o linie dreaptă este trasată de la pol la orice punct al curbei, aceasta taie curba exact în același unghi”, de unde denumirea de „echiunghiulară”.[5]
Gnomon de aur
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/Golden_triangle_%28math%29.svg/220px-Golden_triangle_%28math%29.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3c/Golden-triangles-pentagram.svg/220px-Golden-triangles-pentagram.svg.png)
Strâns legat de triunghiul de aur este gnomonul de aur, care este triunghiul isoscel în care raportul dintre lungimile laturilor egale și lungimea bazei este inversul secțiunii de aur .[6]
Unghiuri
Deoarece gnomonul de aur este un triunghi isoscel obtuzunghic, distanțele AX și CX sunt ambele a′ = a = φ, iar distanța AC este b′ = φ2, cum se vede în imagine.
Unghiul apexului AXC este:
Notă:
Deoarece suma unghiurilor triunghiului AXC este radiani, fiecare dintre unghiurile de la bază (CAX și ACX) este
Notă:
Gnomonul de aur este identificat în mod unic ca fiind singurul triunghi care are cele trei unghiuri în raportul 1 : 1 : 3 (36°, 36°, 108°). Unghiurile de la bază au câte 36°, la fel ca apexul triunghiului de aur.
Pavări
Un triunghi de aur și două gnomoane de aur formează un pentagon regulat[7]
Aceste triunghiuri isoscele pot fi folosite pentru a produce pavări Penrose(d). Pavările Penrose sunt formate din romboizi convecși și concavi. Romboidul convex este format din două triunghiuri de aur, iar cel concav din două gnomoane de aur.
Note
- ^ a b c en Elam, Kimberly (). Geometry of Design. New York: Princeton Architectural Press. ISBN 1-56898-249-6.
- ^ en Weisstein, Eric W. „Golden Triangle”. mathworld.wolfram.com (în engleză). Accesat în .
- ^ en Tilings Encyclopedia. . Arhivat din original la .
- ^ en Huntley, H.E. (). The Divine Proportion: A Study In Mathematical Beauty
. New York: Dover Publications Inc. ISBN 0-486-22254-3.
- ^ en Livio, Mario (). The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books. ISBN 0-7679-0815-5.
- ^ en Loeb, Arthur (). Concepts and Images: Visual Mathematics. Boston: Birkhäuser Boston. p. 180. ISBN 0-8176-3620-X.
- ^ en Eric W. Weisstein, Golden gnomon la MathWorld.
Vezi și
- Romb de aur
Legături externe
Materiale media legate de triunghi de aur la Wikimedia Commons
- en Eric W. Weisstein, Golden triangle la MathWorld.
- en Eric W. Weisstein, Golden gnomon la MathWorld.
- en Robinson triangles at Tilings Encyclopedia
- en The extraordinary reciprocity of golden triangles la Tartapelago de Giorgio Pietrocola
![]() | Portal Matematică |