Triunghiul numerelor de partiții

Referitor la partițiile numerelor întregi^⁠(d), studiate în teoria numerelor și combinatorică, semnificația numerelor ${\displaystyle p_{k}(n)}$ este atât numărul de partiții ale lui ${\displaystyle n}$ în exact ${\displaystyle k}$ părți (adică sume de ${\displaystyle k}$ întregi pozitivi egale cu ${\displaystyle n}$), cât și numărul de partiții ale lui ${\displaystyle n}$ în părți de dimensiune maximă exact ${\displaystyle k}$. Aceste două tipuri de partiții sunt bijective unul cu celălalt, printr-o reflexie diagonală a tablourilor lui Young^⁠(d) asociate numerelor. Numerele de partiții pot fi aranjate într-un triunghi, triunghiul numerelor de partiții, în care rândul ${\displaystyle n}$ conține numerele de partiții ${\displaystyle p_{1}(n),p_{2}(n),\dots ,p_{n}(n)}$:^[1]

Analog cu triunghiul lui Pascal, aceste numere pot fi calculate folosind relația de recurență:^[2]

${\displaystyle p_{k}(n)=p_{k-1}(n-1)+p_{k}(n-k).}$

Drept cazuri particulare, ${\displaystyle p_{1}(1)=1,}$ iar orice valoare din partea dreaptă a recurenței care ar fi în afara triunghiului poate fi luată zero. Această ecuație poate fi explicată notând că fiecare partiție a ${\displaystyle n}$ din ${\displaystyle k}$ părți, enumerate de ${\displaystyle p_{k}(n),}$ poate fi formată fie prin adăugarea unei părți de mărimea 1 la o partiție de ${\displaystyle n-1}$ în ${\displaystyle k-1}$ părți, enumerate de ${\displaystyle p_{k-1}(n-1),}$ sau prin creșterea cu câte 1 parte a fiecărei partiții de ${\displaystyle n-k}$ din ${\displaystyle k}$ părți, enumerate de ${\displaystyle p_{k}(n-k).}$

În triunghiul numerelor de partiții, suma numerelor din rândul ${\displaystyle n}$este numărul de partiții^⁠(d) ${\displaystyle p(n)}$. Aceste numere formează succesiunea:^[3]

1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, ...

omițând valoarea inițială ${\displaystyle p(0)=1}$ a numerelor partițiilor.

Fiecare diagonală de la stânga sus la dreapta jos este, începând de la un anumit rând, constantă, părțile constante ale acestor diagonale extinzându-se aproximativ de la jumătatea fiecărui rând până la capătul său. Valorile acestor constante sunt, din nou, numerele de partiții 1, 1, 2, 3, 5, 7, ... .^[4]

Portal Matematică