Valuare discretă

În matematică, o valuare discretă este o valuare întreagă pe un corp ${\displaystyle K}$; adică o funcție:^[1]

${\displaystyle \nu :K\to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$

satisfăcând condițiile:

${\displaystyle \nu (x\cdot y)=\nu (x)+\nu (y)}$

${\displaystyle \nu (x+y)\geq \min {\big \{}\nu (x),\nu (y){\big \}}}$

${\displaystyle \nu (x)=\infty \iff x=0}$

pentru orice ${\displaystyle x,y\in K}$.

De multe ori valuarea trivială (care ia doar valorile ${\displaystyle 0,\infty }$) este exclusă în mod explicit.

Un corp cu o valuare discretă netrivială se numește corp de valuare discretă.

Oricărui corp comutativ ${\displaystyle K}$ cu valuarea discretă ${\displaystyle \nu }$ îi putem asocia subinelul

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}:=\left\{x\in K\mid \nu (x)\geq 0\right\}}$

al lui ${\displaystyle K}$, care este un inel de valuare discretă. Reciproc, valuarea ${\displaystyle \nu :A\rightarrow \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$ pe un inel de valuare discretă ${\displaystyle A}$ poate fi extinsă în mod unic la o valuare discretă pe corpul fracțiilor ${\displaystyle K={\text{Frac}}(A)}$; inelul de valuare discretă asociat ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ e doar ${\displaystyle A}$.

• Pentru orice număr prim fixat ${\displaystyle p}$ și pentru orice număr ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$ diferit de zero scriem ${\displaystyle x=p^{j}{\frac {a}{b}}}$ cu ${\displaystyle j,a,b\in \mathbb {Z} }$ astfel încât ${\displaystyle p}$ să nu dividă ${\displaystyle a,b}$. Atunci ${\displaystyle \nu (x)=j}$ este o valuare discretă pe ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, numită valuarea p-adică.
• Fiind dată o suprafață Riemanniană ${\displaystyle X}$, putem considera corpul ${\displaystyle K=M(X)}$ al funcțiilor meromorfe ${\displaystyle X\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$. Pentru un punct fixat ${\displaystyle p\in X}$, definim o valuare discretă pe ${\displaystyle K}$ după cum urmează: ${\displaystyle \nu (f)=j}$ dacă și numai dacă ${\displaystyle j}$ este cel mai mare număr întreg cu proprietatea că funcția ${\displaystyle f(z)/(z-p)^{j}}$ poate fi extinsă la o funcție olomorfă în ${\displaystyle p}$. Aceasta înseamnă: dacă ${\displaystyle \nu (f)=j>0}$ atunci ${\displaystyle f}$ are un zero de ordin ${\displaystyle j}$ în punctul ${\displaystyle p}$; dacă ${\displaystyle \nu (f)=j<0}$ atunci ${\displaystyle f}$ are un pol de ordin ${\displaystyle -j}$ în ${\displaystyle p}$. În mod similar se definește o valuare discretă pe corpul funcțiilor unei curbe algebrice pentru orice punct regular ${\displaystyle p}$ de pe curbă.

Mai multe exemple pot fi găsite în articolul despre inelele de valuare discretă.