Binomna teorema

Binomna teorema je teorema elementarne algebre i opisuje koeficijente stepena binoma kada je on predstavljen u razvijenoj formi. Po ovoj teoremi, moguće je predstaviti izraz (x + y)n sumom sabiraka oblika axbyc, gde su koeficijenti a pozitivni celi brojevi, pri čemu je zbir eksponenata x i yjednak n za svaki sabirak. Na primer:

( x + y ) 4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 x y 3 + y 4 . {\displaystyle (x+y)^{4}\;=\;x^{4}\,+\,4x^{3}y\,+\,6x^{2}y^{2}\,+\,4xy^{3}\,+\,y^{4}.}

Koeficijenti koji se pojavljuju u binomnom razvoju nazivaju se binomni koeficijenti. Oni su identični brojevima koji se pojavljuju u Paskalovom trouglu. Ovi brojevi se mogu izračunati jednostavnom formulom koja koristi faktorijel.

Isti ovi koeficijenti se javljaju u kombinatorici, gde je izraz xn−kyk jednak broju različitih kombinacija kelemenata koji se biraju iz skupa od n članova.

Formule

Koeficijent koji stoji uz xn−kyk dat je formulom:

( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! {\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}

koja je definisana uz pomoć funkcije faktorijela n!. Ova formula se može napisati i na sledeći način:

( n k ) = n ( n − 1 ) ⋯ ( n − k + 1 ) k ( k − 1 ) ⋯ 1 = ∏ ℓ = 1 k n − ℓ + 1 ℓ {\displaystyle {n \choose k}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}}=\prod _{\ell =1}^{k}{\frac {n-\ell +1}{\ell }}}

gde su k faktori i u imeniocu i u brojiocu razlomka. Iako se u ovoj formuli koristi razlomak, binomni koeficijenti su celi brojevi.

Iskaz teoreme

Svaki stepen izraza x + y moguće je predstaviti u formi:

( x + y ) n = ( n 0 ) x n y 0 + ( n 1 ) x n − 1 y 1 + ( n 2 ) x n − 2 y 2 + ( n 3 ) x n − 3 y 3 + ⋯ ⋯ + ( n n − 1 ) x 1 y n − 1 + ( n n ) x 0 y n , {\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{n}&={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+{n \choose 3}x^{n-3}y^{3}+\cdots \\&{}\qquad \cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},\end{aligned}}}

gde ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} označava odgovarajući binomni koeficijent. Drugi način zapisivanja ove formule je:

( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k . {\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}.}

Literatura

  • Bag, Amulya Kumar (1966). „Binomial theorem in ancient India”. Indian J. History Sci 1 (1): 68–74. 
  • DOI:10.2307/4145193
    This citation will be automatically completed in the next few minutes. You can jump the queue or expand by hand
  • Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren (1994). „(5) Binomial Coefficients”. Concrete Mathematics (2nd izd.). Addison Wesley. str. 153–256. ISBN 0-201-55802-5. OCLC 17649857. 

Vanjske veze

Binomna teorema na Wikimedijinoj ostavi
  • Solomentsev, E.D. (2001), „Newton binomial”, Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 
  • Binomial Theorem by Stephen Wolfram, and "Binomial Theorem (Step-by-Step)" by Bruce Colletti and Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project, 2007.