Imaginarna jedinica

U matematici, fizici i inžinjerstvu, imaginarna jedinica se označava kao ${\displaystyle i\ }$  ili latinično ${\displaystyle j\,}$  ili grčkim slovom Jota (pogledati alternativne notacije ispod). Ona dozvoljava da se sistem realnih brojeva proširi na sistem kompleksnih brojeva, ${\displaystyle \mathbb {C} .}$  Precizna definicija je zavisna od određenog metoda proširenja.

Osnovna motivacija za ovo proširenje je činjenica da postoje polinomijalne jednačine sa realnim koeficijentima ${\displaystyle f(x)=0}$ koje nemaju rešenja sa realnim brojevima. Konkretnije, jednačina ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ nema realnih rešenja (pogledati definiciju ispod). Ako bismo dozvolili kompleksne brojeve kao rešenja, onda bi svaka polinomijalna jednačina nenultog stepena ${\displaystyle f(x)=0}$ imala rešenje.

Imaginarna jedinica se ponekad naziva i „kvadratni koren od minus jedan“, ali pogledajte ispod teškoće koje može prouzrokovati naivno iskorišćavanje ove ideje.

Po definiciji, imaginarna jedinica ${\displaystyle i}$ je jedno od rešenja (drugo rešenje je ${\displaystyle -i}$) kvadratne jednačine

${\displaystyle x^{2}+1=0\ }$

ili, ekvivalentno

${\displaystyle x^{2}=-1.\ }$

Pošto nema realnih brojeva kojima se dobija negativan broj kada se kvadriraju, mi imaginarno zamišljamo takav broj i dodeljujemo mu simbol i. Važno je shvatiti da je i validna matematička konstrukcija, isto kao i realni brojevi, iako to nije odmah intuitivno jasno i iako mu samo ime ne sugeriše to.

Operacije nad realnim brojevima se mogu proširiti na imaginarne i kompleksne brojeve smatrajući i nepoznatom u radu sa izrazom, a onda koristeći definiciju da se zameni svako pojavljivanje i ² sa −1. Stepeni broja ${\displaystyle i}$ veći od dva se takođe zamenjuju sa −i, 1, ${\displaystyle i}$, ili −1:

${\displaystyle i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i\,}$

${\displaystyle i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\,}$

${\displaystyle i^{5}=i^{4}i=(1)i=i.\,}$

Pošto je jednačina koja definiše imaginarnu jedinicu x² + 1 = 0 jednačina drugog reda bez realnih rešenja, ona mora da ima dva rešenja koja su oba ispravna i koja su suprotnih znakova i recipročna su. Preciznije, kada smo fiksirali jedno rešenje jednačine ${\displaystyle i}$, vrednost −${\displaystyle i}$ (koja nije jednaka ${\displaystyle i}$) je takođe rešenje. Pošto je ova jednačina jedina definicija broja ${\displaystyle i}$, deluje da ova definicija nije dobro definisana jer su i ${\displaystyle i}$ i −${\displaystyle i}$ dobri kandidati za vrednost imaginarne jedinice pošto među njima nema kvalitativnih razlika (što se ne može reći za -1 i +1). Ipak, ukoliko usvojimo jedno od ovih rešenja za „pozitivno ${\displaystyle i}$", ovakvih problema nema. Čak i kada bi se u svim matematičkim knjigama zamenili svako pojavljivanje +${\displaystyle i}$ sa −${\displaystyle i}$ (a time i svako pojavljivanje −${\displaystyle i}$ sa −(−${\displaystyle i}$) = +${\displaystyle i}$), sve teoreme bi važile i dalje. Dakle, razlika između dva korena ${\displaystyle x}$ jednačine ${\displaystyle x^{2}+1=0}$, od kojih je jedan „pozitivan“, a drugi „negativan“ je čisto notaciona zaostavština; nijedan od njih nije fundamentalno važniji od drugog.

Sličan problem se javlja i kada kompleksne brojeve predstavljamo kao 2 × 2 realne matrice, jer su onda i

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&-1\\1&\;\;0\end{pmatrix}}}$

kao i

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1\\-1&\;\;0\end{pmatrix}}}$

rešenja matrične jednačine

${\displaystyle X^{2}=-I.\ }$

U ovom slučaju, neslaganje nastaje od geometrijskog izbora na koju stranu oko jediničnog kruga je „pozitivna“ rotacija. Preciznije objašnjenje je da automorfna grupa specijalne ortogonalne grupe SO (2, R) ima tačno 2 elementa – identitet i automorfizam koji dele smer „u smeru kretanja kazaljke na satu“ i smer „suprotno od smera kretanja kazaljke na satu“. Videti ortogonalne grupe.

Sva ova neslaganja se mogu rešiti usvajanjem rigoroznije definicije kompleksnih brojeva kroz polje kompleksnih brojeva i eksplicitnije odabiranje jednog od rešenja gorepomenute jednačine da bude imaginarna jedinica. Primer je uređen par (0, 1), u uobičajenoj predstavi kompleksnih brojeva, kao dvodimenzionalni vektor.

Imaginarna jedinica se ponekad piše kao ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ u naprednijim matematičkim kontekstima. Ipak, dosta se pažnje treba posvetiti kada se radi sa formulama koje uključuju i N-te korene. Ovakva notacija je rezervisana ili za glavnu funkciju kvadratnog korena, koja je definisana samo za realne brojeve ${\displaystyle x}$ ≥ 0, ili za generalni kvadratni koren nad kompleksnim brojevima. Ako se pokuša primena pravila koja važe za kvadratni koren nad realnim brojevima da bi se manipulisalo formulama u kojima se radi sa kvadratnim korenima nad kompleksnim brojevima, dobiće se pogrešni rezultati:

${\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1}$    (netačno).

Ako se pokuša ponovo ova računica, ali ako vodimo računa da koren može biti i pozitivan i negativan, dobićemo dvosmislen rezultat:

${\displaystyle -1=i\cdot i=\pm {\sqrt {-1}}\cdot \pm {\sqrt {-1}}=\pm {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}=\pm {\sqrt {1}}=\pm 1}$   (dvosmisleno).

Pravilo u računanju

${\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}}$

važi samo za realne, nenegativne vrednosti ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$.

Za detaljniju diskusiju oko ovog fenomena, pogledajte kvadratni koren.

Da bi se izbegle ovakve greške kada se radi sa kompleksnim brojevima, pravilo je da se nikad ne koristi negativni broj pod korenom. Na primer, umesto da se piše izraz ${\displaystyle {\sqrt {-7}}}$, može se napisati ${\displaystyle i{\sqrt {7}}}$ umesto njega. Ovo je upotreba za koju je imaginarna jedinica i smišljena.

Pri prvom susretanju sa imaginarnom jedinicom, desi se da se pomisli da još jedan skup imaginarnih brojeva mora biti izmišljen da bi se izračunao kvadratni koren od i. Ipak, ovo nije potrebno jer se on može izraziti kao bilo koji od sledeća dva kompleksna broja.^[1]

${\displaystyle \pm {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).}$

Lako se pokazuje da su ovo koreni imaginarne jedinice, kvadriranje desne strane daje:

${\displaystyle \left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ }$	${\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ }$
	${\displaystyle ={\frac {1}{2}}(1+i)(1+i)\ }$
	${\displaystyle ={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad \quad (i^{2}=-1)\ }$
	${\displaystyle ={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\ }$
	${\displaystyle ={\frac {1}{2}}(2i)\ }$
	${\displaystyle =i.\ }$

Recipročna vrednost imaginarne jedinice se lako nalazi:

${\displaystyle {\frac {1}{i}}\;=\;{\frac {1}{i}}\cdot {\frac {i}{i}}\;=\;{\frac {i}{i^{2}}}\;=\;{\frac {i}{-1}}\;=\;-i}$.

Vrednosti stepena broja ${\displaystyle i}$ se ciklično ponavljaju:

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle i^{-3}=i\,}$

${\displaystyle i^{-2}=-1\,}$

${\displaystyle i^{-1}=-i\,}$

${\displaystyle i^{0}=1\,}$

${\displaystyle i^{1}=i\,}$

${\displaystyle i^{2}=-1\,}$

${\displaystyle i^{3}=-i\,}$

${\displaystyle i^{4}=1\,}$

${\displaystyle \ldots }$

Ovo se može izraziti preko sledeće formule, gde je n bilo koji ceo broj:

${\displaystyle i^{4n}=1\,}$

${\displaystyle i^{4n+1}=i\,}$

${\displaystyle i^{4n+2}=-1\,}$

${\displaystyle i^{4n+3}=-i.\,}$

Ovo vodi zaključku da je:

${\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}\,}$

gde mod 4 predstavlja moduo po osnovi 4.

Ojlerova formula glasi

${\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,}$ ,

gde je x realan broj. Ova formula se može analitički proširiti za kompleksne vrednosti broja x.

Zamenjujući ${\displaystyle x=\pi }$ dobija se

${\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )=-1+i0\,}$

i dolazi se do elegantnog Ojlerovog identiteta:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.\,}$

Ova izuzetno jednostavna jednačina spaja 5 najznačajnijih matematičkih veličina (0, 1, π, e, i i) osnovnim operacijama sabiranja, množenja i stepenovanja.

Zamenom ${\displaystyle x=\pi /2-2N\pi ,}$ gde je N proizvoljni ceo broj daje

${\displaystyle e^{i(\pi /2-2N\pi )}=i.\,}$

Ili, dizanjem obe strane na stepen ${\displaystyle i}$,

${\displaystyle e^{ii(\pi /2-2N\pi )}=i^{i}\,}$

ili

${\displaystyle e^{-(\pi /2-2N\pi )}=i^{i}\,}$,

što pokazuje da ${\displaystyle i^{i}\,}$ ima beskonačno mnogo elemenata oblika

${\displaystyle i^{i}=e^{-\pi /2+2\pi N}\,}$

gde je N bilo koji ceo broj. Ova vrednost, iako realna, nije jedinstveno određena. Razlog je što je funkcija kompleksnog algoritma funkcija sa više rešenja.

Uzimajući N = 0 pruža nam glavnu vrednost

${\displaystyle i^{i}=e^{-\pi /2}=.207879576....\,}$

Mnoge matematičke operacije koje se mogu izvesti sa realnim brojevima takođe se mogu izvesti i sa ${\displaystyle i}$, kao stepenovanje, korenovanje, logaritmovanje i trigonometrijske funkcije.

Broj x dignut na ${\displaystyle ni}$ stepen je:

${\displaystyle \!\ x^{ni}=\cos(\ln(x^{n}))+i\sin(\ln(x^{n})).}$

${\displaystyle ni}$-ti koren broja x je:

${\displaystyle \!\ {\sqrt[{ni}]{x}}=\cos(\ln({\sqrt[{n}]{x}}))-i\sin(\ln({\sqrt[{n}]{x}})).}$

Logaritam za imaginarnu osnovu broja x je:

${\displaystyle \log _{i}(x)={{2\ln(x)} \over i\pi }.}$

Kao i kod svakog logaritma, i logaritam za osnovu i nije svuda definisan.

Kosinus broja ${\displaystyle i}$ je realan broj:

${\displaystyle \cos(i)=\cosh(1)={{e+1/e} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}=1.54308064.}$

A sinus broja ${\displaystyle i}$ je imaginaran:

${\displaystyle \sin(i)=\sinh(1)\,i={{e-1/e} \over 2}\,i={{e^{2}-1} \over 2e}\,i=1.17520119\,i.}$

• U elektrotehnici i srodnim naukama, imaginarna jedinica se često piše kao ${\displaystyle j\,}$, da bi se izbegla zabuna sa električnom strujom kao funkcijom vremena, označenom sa ${\displaystyle i(t)\,}$ ili samo ${\displaystyle i.\,}$   U programskom jeziku Pajton se imaginarna jedinica takođe označava sa j, dok se u Matlabu obe notacije (i i j) koriste da označe imaginarnu jedinicu.
• Posebna pažnja se mora posvetiti u nekim knjigama koje definišu j = −i, uglavnom za neke tipove putujućih talasa.
• U nekim tekstovima se koristi Jota (ι) za pisanje imaginarne jedinice da bi se izbegla konfuzija. Na primer Bikvaternion.