Inverz (matematika)

U matematici, pojam inverznog elementa predstavlja uopštenje pojmova negacije, u odnosu na sabiranje, i recipročnosti, u odnosu na množenje. Intuitivno, inverz može da poništi efekat kombinacije nekog elementa sa drugim datim elementom.

Neka je ${\displaystyle S}$ skup sa binarnom operacijom ${\displaystyle *}$. Ako je ${\displaystyle e}$ neutralni element za ${\displaystyle (S,*)}$ i ${\displaystyle a*b=e}$, onda je ${\displaystyle a}$ levi inverz od ${\displaystyle b}$ a ${\displaystyle b}$ je desni inverz od ${\displaystyle a}$. Ako je element ${\displaystyle x}$ ujedno i levi i desni inverz od ${\displaystyle y}$, onda se ${\displaystyle x}$ naziva dvostranim inverzom, ili prosto inverzom, od ${\displaystyle y}$. Element koji ima dvostrani inverz u ${\displaystyle S}$ se naziva invertibilnim u ${\displaystyle S}$. Element koji ima inverz samo sa jedne strane je levo invertibilan, ili desno invertibilan.

Kao što je za ${\displaystyle (S,*)}$ moguće da ima više levih identiteta ili više desnih identiteta, moguće je da element ima više levih inverza ili više desnih inverza (ali treba imati u vidu da njihova gornja definicija koristi dvostrani identitet, ${\displaystyle e}$). Element može čak da ima više levih inverza i više desnih inverza.

Ako je operacija ${\displaystyle *}$ asocijativna, onda ako element ima i levi i desni inverz, oni su jednaki i jedinstveni. U ovom slučaju, skup (levo i desno) invertibilnih elemenata je grupa koja se naziva grupom jedinica od ${\displaystyle S}$, u oznaci ${\displaystyle U(S)}$ ili ${\displaystyle S^{*}}$.

Svaki realan broj ${\displaystyle x}$ ima aditivni inverz (inverz u odnosu na sabiranje) jednak ${\displaystyle -x}$. Svaki realan broj različit od nule, ${\displaystyle x}$ ima multiplikativni inverz (inverz u odnosu na množenje) jednak ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$. Nula nema multiplikativni inverz.

Funkcija ${\displaystyle g}$ je levi (ili desni) inverz funkcije ${\displaystyle f}$ (za kompoziciju funkcija), ako i samo ako je ${\displaystyle gof}$ (ili ${\displaystyle fog}$) funkcija identiteta na domenu (ili kodomenu) funkcije ${\displaystyle f}$.

Kvadratna matrica ${\displaystyle M}$ sa elementima iz polja ${\displaystyle K}$ je invertibilna (u skupu svih kvadratnih matrica iste dimenzije, u odnosu na množenje matrica) ako i samo ako je njena determinanta različita od nule. Ako je determinanta matrice ${\displaystyle M}$ jednaka nuli, nemoguće je da ta matrica ima jednostrani inverz; stoga postojanje levog inverza implicira postojanje desnog (i obratno). Vidi invertibilna matrica za detaljniji opis.

Opštije, kvadratna matrica nad komutativnim prstenom ${\displaystyle R}$ je invertibilna ako i samo ako je enjna determinanta invertibilna u ${\displaystyle R}$.

Nekvadratne matrice punog ranga imaju jednostrane inverze:^[1]

• Za ${\displaystyle A:m\times n\mid m>n}$ postoji levi inverz: ${\displaystyle \underbrace {(A^{T}A)^{-1}A^{T}} _{A_{\text{left}}^{-1}}A=I_{n}}$
• Za ${\displaystyle A:m\times n\mid m<n}$ postoji desni inverz: ${\displaystyle A\underbrace {A^{T}(AA^{T})^{-1}} _{A_{\text{right}}^{-1}}=I_{m}}$

Nijedna matrica koja nije punog ranga nema bilo kakav (ni jednostrani) inverz. Međutim, Mur-Penrouzov pseudoinverz postoji za sve matrice, i poklapa se sa levim ili desnim (ili dvostranim) inverzom ako on postoji.

${\displaystyle A:2\times 3={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}}$
Dakle, kako je ${\displaystyle m<n}$, postoji desni inverz. ${\displaystyle A_{desni}^{-1}=A^{T}(AA^{T})^{-1}}$
${\displaystyle AA^{T}={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle (AA^{T})^{-1}={\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{54}}{\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A^{T}(AA^{T})^{-1}={\frac {1}{54}}{\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}}={\frac {1}{18}}{\begin{bmatrix}-17&8\\-2&2\\13&-4\end{bmatrix}}=A_{desni}^{-1}}$

Levi inverz ne postoji, jer ${\displaystyle A^{T}A={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}17&22&27\\22&29&36\\27&36&45\end{bmatrix}}}$, što je singularna matrica, koja ne može da se invertuje.