Konstruktibilni univerzum

Da bi se mogao u potpunosti razumeti ovaj članak, potrebno je prvo pročitati članak Teorija skupova kontinuuma, te članke koji mu prethode.

U CF teoriji pojam skupa nije definisan već predstavlja osnovni koncept. Ovo za posledicu ima da neka pitanja u CF teoriji ne mogu biti odgovorena.

CF aksiome opisuju svojstva skupova i teorijski univerzum skupova. Na primer, ako je ${\displaystyle X}$ neki beskonačni skup aksioma partitivnog skupa kaže da postoji skup ${\displaystyle P(X)}$ koji čine svi podskupovi skupa ${\displaystyle X}$. Ostale CF aksiome nam ne kažu mnogo o elementima posdkupovima skupa ${\displaystyle P(X)}$ niti nam kažu išta o veličini ovog skupa. Aksioma sveobuhvatnosti kaže da se ${\displaystyle P(X)}$ sastoji od skupova koji se, na neki dobro definisan način, mogu opisati. Aksioma izbora obezbeđuje različite skupove izbora i dobru uređenost. Reč "svi" u frazi "svi podskupovi skupa" ${\displaystyle X}$ nije ni na koji način objašnjena. Sve dok pojam ${\displaystyle P(X)}$ kako je definisan nije upitan, CF teorija skupova je potpuno smislena. Ali tu je glavni nedostatak CFI teorije skupova: postoji nekoliko pitanja koja se lako mogu postaviti a koja ne mogu biti odgovorena ako se koriste samo CFI aksiome. Klasičan primer jednog takvog pitanja je status hipoteze kontinuuma ${\displaystyle 2^{\omega }=\omega _{1}}$. Može se tvrditi da o ovoj jednakosti se ne može ništa reći u CFI pošto CFI aksiome ništa ne kažu šta čini posdkup skupa ${\displaystyle \omega }$. Time se ne može povezati veličina ${\displaystyle P(X)}$ skupa sa beskonačnim kardinalnim brojem ${\displaystyle \omega _{1}}$.

Da bi se prevazišla ova teškoća, došlo se do ideje da se CFI proširi tako što bi se dalo više informacije o skupu. Jedna od uspešnih realizacija ove ideje je Gedelovova teorija konstruktibilnog univerzuma.

Gedelov kostruktibilni univerzum ${\displaystyle L}$ se definiše transfinitnom rekurzijom:

${\displaystyle L_{0}=0;}$

${\displaystyle L_{\alpha +1}=D(L_{\alpha });}$

${\displaystyle L_{\alpha }=\bigcup _{\beta \in \alpha }L_{\beta }}$, u slučaju kada je α granični ordinal.

Posebno,

${\displaystyle x\in L{\iff }_{def}\exists \alpha (x\in L_{\alpha })}$.

pri čemu je:

${\displaystyle D(x)=P(x)\bigcap gcl(x\bigcup \{x\})}$ a ${\displaystyle gcl(X)}$ Gedelova operacija zatvorenja za proizvoljan skup ${\displaystyle X}$

${\displaystyle gcl_{0}(X)=X}$

${\displaystyle gcl_{n+1}=gcl_{n}(X)\bigcup \bigcup _{i=1}^{4}\{G_{i}(x,y)|x,y\in gcl_{n}(X)\}\bigcup \bigcup _{i=5}^{9}\{G_{i}(x)|x\in gcl_{n}(X)\}}$

${\displaystyle gcl(X)=\bigcup _{n\in \omega }gcl_{n}(X)}$

${\displaystyle G_{1}(x,y)=\{x,y\}}$

${\displaystyle G_{2}(x,y)=x\times y}$

${\displaystyle G_{3}(x,y)=\{z|(\exists u\in x)(\exists v\in y)(u\in v\land z=\langle u,v\rangle )\}}$

${\displaystyle G_{4}(x,y)=x\backslash y}$

${\displaystyle G_{5}(x)=\bigcup x}$

${\displaystyle G_{6}(x)=dom(x)}$

${\displaystyle G_{7}(x)=\{\langle u,v\rangle |\langle v,u\rangle \in x\}}$

${\displaystyle G_{8}(x)=\{\langle u,v,w\rangle |\langle u,w,v\rangle \in x\}}$

${\displaystyle G_{9}(x)=\{\langle u,v,w\rangle |\langle v,w,u\rangle \in x\}}$

Funkcija :${\displaystyle y=dom(x)}$ je ekvivalentna konjunkciji sledeće dve formule:

(a) ${\displaystyle (\forall u\in y)(\exists v\in \sideset {}{^{2}}\bigcup (\langle u,v\rangle \in x)}$

(b) ${\displaystyle (\forall u,v\in \sideset {}{^{2}}\bigcup x)(\langle u,v\rangle \in x\Rightarrow u\in y)}$

U gornjem kontekstu je ${\displaystyle \sideset {}{^{2}}\bigcup x=\bigcup \bigcup x}$.

Gedel je pokazao da ${\displaystyle L}$ zadovoljava sve CFI aksiome a time i CF. Na taj način ${\displaystyle L}$ zadovoljava uopštenu hipotezu kontinuuma (UHK) tj. ${\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}}$, za svaki ordinal ${\displaystyle \alpha }$ .

Tvrdnja ${\displaystyle V=L}$, gde je ${\displaystyle V}$ univerzum svih skupova, se zove aksioma konstruktibilnosti (AK) koja tvrdi da svaki skup pripada ${\displaystyle L}$, koja je time saglasna sa CFI i iz koje (AK) se daju izvesti AI i UHK.

Prava klasa ${\displaystyle L}$, zajedno sa ${\displaystyle \in }$ relacijom ograničenom samo na ${\displaystyle L}$, je unutrašnji model CFI tj. neka tranzitivna (tj. koja sadrži sve elemente sopstvenih elemenata) klasa koja sadrži sve ordinale i zadovoljava sve CFI aksiome. Prava klasa je, na taj način, najmanji unutrašnji CFI model, pošto svaki drugi unutrašnji model sadrži pravu klasu.

Za bilo koji skup ${\displaystyle A}$ može se konstruisati najmanji CF tranzitivni model koji sadrži ${\displaystyle A}$ i sve ordinale na sličan način kao i ${\displaystyle L}$, ali gde se počinje sa tranzitivnim zatvaranjem ${\displaystyle A}$, tj. najmanji tranzitivni skup koji sadrži ${\displaystyle A}$ umesto ${\displaystyle \emptyset }$. Rezultujući model ${\displaystyle L(A)}$ nije nužno AI model. Jedan vrlo značajan AI model je ${\displaystyle L(R)}$, najmanji CF tranzitivni model koji sadrži sve ordinale i sve realne brojeve.

• Keith J. Devlin, Constructibility (Berlin: Springer-Verlag, 1984), 56-107
• Aleksandar Perović, Aleksandar Jovanović, Boban Veličković: Teorija skupova, Matematički fakultet, Beograd 2007