Podudarnost (geometrija)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/12/Congruent_non-congruent_triangles.svg/333px-Congruent_non-congruent_triangles.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/60/Angle-angle-side_triangle_congruence.svg/333px-Angle-angle-side_triangle_congruence.svg.png)
U geometriji dve figure su podudarne ako imaju istu veličinu i oblik, ili ako jedna ima isti oblik i veličinu kao slika u ogledalu druge.[3] Dva skupa tačaka su podudarna ako postoji preslikavanje kojim se taj skup preslikava u drugi skup, a da se pri tom ne menja veličina i oblik.
Podudarnost se označava sa
Podudaran ima značenje:[4]
- Dve duži su podudarne ako imaju istu dužinu tj
- Dva ugla su podudarna ako imaju istu meru tj
- Dva kruga su podudarna ako imaju isti prečnik tj
Određivanje podudarnosti poligona
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/Quadrilateral_congruence.png/333px-Quadrilateral_congruence.png)
Da bi dva poligona bila podudarna, moraju imati jednak broj stranica (a samim tim i jednak broj – isti broj – temena). Dva poligona sa n strana su podudarna ako i samo ako svaki od njih ima numerički identične nizove (čak i ako u smeru kazaljke na satu za jedan poligon i suprotno od kazaljke na satu za drugi) stranica-ugao-stranica-ugao- ... za n stranica i n uglova.
Kongruencija poligona može se grafički utvrditi na sledeći način:
- Prvo, uparite i označite odgovarajuće vrhove dve figure.
- Drugo, nacrtajte vektor od jednog od vrhova jedne od figura do odgovarajućeg temena druge figure. Translirajte prvu figuru ovim vektorom tako da se ova dva temena poklapaju.
- Treće, rotirajte transliranu figuru oko podudarnog temena dok se jedan par odgovarajućih strana ne poklopi.
- Četvrto, odrazite rotiranu figuru oko ove uparene strane dok se brojke ne poklope.
Ako u bilo kom trenutku korak ne može da se završi, poligoni nisu podudarni.
Aksiomi podudarnosti
Aksiomi podudarnosti opisuju osnovne karakteristike relacije podudarnosti parova tačaka. Ovu relacija se uvodi kao polazni pojam.
- Aksiom 1
Ako je i , tada je i .
- Aksiom 2
Za svake dve tačke i je .
- Aksiom 3
Ako je i tada je
- Aksiom 4
Ako su C i C' tačke otvorenih duži AB i A'B', takve da je i , tada je i
- Aksiom 5
Ako su A i B dve tačke i CX poluprava tada na toj polupravoj postoji tačka D takva da je
- Aksiom 6
Ako su A, B, C tri nekolinearne tačke i tačke ruba neke poluravni , takve da je tada u toj poluravni postoji jedinstvena tačka C' takva da je i
- Aksiom 7
Ako su A, B, C i A', B', C' dve trojke nekolinearnih tačaka i D i D' tačke polupravih BC i B'C' takve da je , , i , tada je i
Relacija podudarnosti parova tačaka je relacija ekvivalencije.
- relacija je refleksivna.
- Neka je [] => relacija je simetrična
- i [sledi na osnovu simetričnosti]
- Teorema 1
Ako su A i B dve tačke i CX poluprava tada na toj polupravoj postoji jedinstvena tačka D takva da je '
- Teorema 2
Ako su A,B,C tri razne tačke prave p i A',B' dve tačke prave p' takve da je , tada postoji jedinstvena tačka C' takva da je A',B' i .
Pri tome, tačka C' pripada pravoj p' i:
- ako je , tada je
- ako je , tada je
- ako je , tada je
- Definicija 1
Kaže se da je uređena n-torka tačaka podudarna sa n-torkom u oznaci
ako je za svako
- Definicija 2
Neka su A i B dve razne tačke neke ravni . Skup svih tačaka te ravni takvih da je , naziva se krug, u oznaci , sa centrom A i čiji je poluprečnik duž AB.
Podudarnost duži
Ako su dve duži AB i CD su podudarne, to može se označiti sa
- Teorema 3
,
- Definicija 3
Tačka S je središte duži , ako pripada toj duži i važi
- Teorema 4
Za svaku duž postoji jedinstveno središte.
- Definicija 4
Duž AB je manja od duži CD u oznaci AB < CD ako unutar duži CD postoji tačka E takva da je AB ≅ CE. Takođe u tom slučaju se kaže i da je duž CD veća od duži AB u oznaci CD > AB.
- Definicija 5
Duž EF jednaka je zbiru duži AB i CD u oznaci EF = AB + CD, ako unutar duži EF postoji tačka G takva da je AB≅EG CD ≅GF.
Na isti način definišu se razlika, proizvod duži i prirodnog broja, proizvod duži iracionalnog broja
Podudarnost uglova, pravi uglovi, relacija normalnosti pravih
Dva konveksna ili konkavna ugla i su podudarna ako i samo ako na kracima i , redom postoje tačke takve da je: ).
- Teorema 5
- Unakrsni uglovi su međusobno podudarni.
- Za svaki ∠pq i svaku polupravu p' neke ravni, postoji u poluravni određenoj pravom koja sadrži p', jedinstvena poluprava q' takva da ∠pq ≅ ∠p'q'.
- Teorema 6
Svaki ugao ima jedinstvenu bisektrisu
- Definicija 5
Ugao AOB je manji od ugla CSD u oznaci ako unutar ugla CSD postoji poluprava SE takva da je . U tom slučaju kažemo ia je ugao CSD veći od ugla AOB u oznaci .
- Definicija 6
Uglom dve mimoilazne prave p i q u prostoru naziva se ugao koji određuju njima paralelene prave a i b koje se seku u nekoj tački O. Specijalno, ako je ugao dve mimoilazne prave u prostoru prav, tada se kaže da su prave i normalne među sobom, i simbolički označavamo sa
- Teorema 7
- Ugao podudaran nekom pravom uglu takođe je prav.
- Pravi uglovi su među sobom podudarni.
- Postoji jedna i samo jedna prava koja seče svaku od dve mimoilazne prave a i b pod pravim uglom.
Podudarnost poligona
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/Quadrilateral_congruence.png/250px-Quadrilateral_congruence.png)
Dva podudarna poligona imaju isti broj stranica i vrhova.[5]
Dva poligoni sa n strana su podudarna, ako i samo ako svaki od njih ima odgovarajuće stranice i uglove jednake.
Podudarnost nekih pravilnih četvorouglova
- Dva paralelograma su podudarna ako su im podudarne dve susedne ivice i jedan ugao.
- Dva pravougaonika su podudarna ako su im podudarne dve susedne ivice.
- Dva romba su podudarna ako su im podudarne jedna ivica i jedan ugao
- Dva kvadrata su podudarna ako su im podudarne stranice.
Podudarnost trouglova
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Congruent_triangles.svg/250px-Congruent_triangles.svg.png)
Dva trougla su podudarna ako su njihove odgovarajuće stranice jednake dužine, odgovarajući uglovi jednake veličine. Da su dva trougla ABC i DEF podudarni zapisuje se
Određivanje podudarnostosti
- SUS
Dva trougla su podudarna ako su dve ivice i njima zahvaćeni ugao jednog trougla podudarni sa odgovarajućim ivicama i uglovima drugog trougla, tj:
- SSS
Dva trougla su podudarna ako su im odgovarajuće ivice podudarne, tj.
Dokaz:
Neka su ABC, A'B'C' dva trougla takva da je . Tada su i odgovarajući parovi tačaka podudarni tj.
Postoji izometrija te ravni, koja tačke A,B,C preslikava redom u tačke A', B', C'. Izometrije čuvaju raspored, pa se odgovarajuće ivice jednog trougla preslikavaju u odgovarajuće ivice drugog trougla. Izometrija preslikava trougao ABC u trougao A'B'C', pa je
- USU
Dva trougla su podudarna ako su jedna ivica i na njoj nalegli uglovi jednog trougla podudarni sa odgovarajućom ivicom i odgovarajućim uglovima drugog trougla, tj:
- SSU
Dva trougla su podudarna ako su dve ivice i ugao naspram jedne od njih jednog trougla podudarni sa odgovarajućim stranicama i odgovarajućim uglom drugog trougla.[6]
Reference
- ^ Venema 2006, p. 122
- ^ Henderson & Taimiṇa 2005, p. 123 harvnb грешка: no target: CITEREFHendersonTaimiṇa2005 (help)
- ^ Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Congruent Figures” (PDF). Addison-Wesley. стр. 167. Архивирано из оригинала 29. 10. 2013. г. Приступљено 02. 06. 2017. CS1 одржавање: BOT: статус параметра оригинални-URL непознат (веза)
- ^ „Congruence”. Math Open Reference. 2009. Приступљено 02. 06. 2017.
- ^ Congruent Polygons
- ^ „SSS”. Архивирано из оригинала 31. 05. 2016. г. Приступљено 29. 12. 2018.
Literatura
- Coxeter, H. S. M. (1969). Introduction to Geometry, Second edition. Wiley. ISBN 9780471504580.
- Boyer, C.B. (1991) [1989]. A History of Mathematics (Second edition, revised by Uta C. Merzbach изд.). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8.
- Cooke, Roger (2005), The History of Mathematics:, New York: Wiley-Interscience, 632 pages, ISBN 978-0-471-44459-6
- Hayashi, Takao (2003), „Indian Mathematics”, Ур.: Grattan-Guinness, Ivor, Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, 1, Baltimore, MD: The Johns Hopkins University Press, 976 pages, стр. 118—130, ISBN 978-0-8018-7396-6
- Hayashi, Takao (2005), „Indian Mathematics”, Ур.: Flood, Gavin, The Blackwell Companion to Hinduism, Oxford: Basil Blackwell, 616 pages, стр. 360—375, ISBN 978-1-4051-3251-0
- Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, translator and editor: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.
- Jay Kappraff, A Participatory Approach to Modern Geometry, World Scientific Publishing. 2014. ISBN 978-981-4556-70-5..
- Leonard Mlodinow, Euclid's Window – The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace, UK edn. Allen Lane, 1992.
- Henderson, David W.; Taimina, Daina (2005), Experiencing Geometry/Euclidean and Non-Euclidean with History (3rd изд.), Pearson Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-143748-7
- Jacobs, Harold R. (1974), Geometry, W.H. Freeman and Co., ISBN 978-0-7167-0456-0
- Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometry/A Comprehensive Course, Dover, ISBN 978-0-486-65812-4
- Sibley, Thomas Q. (1998), The Geometric Viewpoint/A Survey of Geometries, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-87450-1
- Smart, James R. (1998), Modern Geometries (5th изд.), Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-35188-5
- Stahl, Saul (2003), Geometry/From Euclid to Knots, Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-032927-1
- Venema, Gerard A. (2006), Foundations of Geometry, Pearson Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-143700-5
- Yale, Paul B. (1968), Geometry and Symmetry, Holden-Day
- Judith N. Cederberg (1989, 2001) A Course in Modern Geometries, Chapter 3.12 Similarity Transformations, pp. 183–9, Springer. ISBN 978-0-387-98972-3. .
- Günter Ewald (1971) Geometry: An Introduction, pp. 106, 181, Wadsworth Publishing.
- George E. Martin (1982) Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry, Chapter 13 Similarities in the Plane, pp. 136–46, Springer. ISBN 978-0-387-90636-2. .
Spoljašnje veze
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/30px-Commons-logo.svg.png)
- Geometrija
- The SSS at Cut-the-Knot
- The SSA at Cut-the-Knot
- Interactive animations demonstrating Congruent polygons, Congruent angles, Congruent line segments, Congruent triangles at Math Open Reference