Inom linjär algebra sägs en avbildning i två variabler vara bilinjär om den är linjär i varje variabel var för sig.
Definition
En avbildning
![{\displaystyle f:V\times W\rightarrow U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00a4e88489ad5b95419f27eae20a66124c0b78a9)
där U, V, W är vektorrum över en kropp K, sägs vara bilinjär om
![{\displaystyle f(v+v',w)=f(v,w)+f(v',w)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbc8a7b7ee8ca049a90a9405bcac4b59ff0c9b96)
![{\displaystyle f(av,w)=af(v,w)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d852be9a75a4256723fe1994899a53e1e261c5)
![{\displaystyle f(v,w+w')=f(v,w)+f(v,w')\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a0b99cef827b8331b3877dcd506ab538907c7e)
![{\displaystyle f(v,aw)=af(v,w)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81109bdadf95e797f715e528a41fc9dc403e70cc)
för alla
![{\displaystyle v,v'\in V,w,w'\in W}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59bf9a8f2dcc7067340c6280d01ea9d8bd54ae3a)
och
.
Exempel
- Matrismultiplikation är en bilinjär avbildning
![{\displaystyle M(m,n)\times M(n,k)\rightarrow M(m,k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdb45131256cd9c35792e03f2d8ff46dd2cecb87)
- Kryssprodukten är en bilinjär avbildning
.
- Applikationsoperatorn som till ett element
är bilinjär.
- Kovarians (sannolikhetsteori) är bilinjär
Egenskaper
De bilinjära avbildningarna utgör ett linjärt delrum till rummet av linjära avbildningar
Tensorprodukter används för att klassificera bilinjära avbildningar; närmare bestämt, det finns en kanonisk avbildning
![{\displaystyle t:U\times V\rightarrow U\otimes V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac43c95e8b77b5a9be35120ceacba9a734d25c5d)
så att för varje bilinjär avbildning
![{\displaystyle b:U\times V\rightarrow W}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e43055ba52b56edf977156242b915ffc93977c4)
så finns en unik avbildning
![{\displaystyle e:U\otimes V\rightarrow W}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0dcd303bf9c2a20ad8f817a4ba557a5be169a74)
så att