Diskret värdering

Inom matematiken är en diskret värdering en heltalsvärdering på en kropp K, d.v.s. en funktion

${\displaystyle \nu :K\to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$

som satisfierar kraven

${\displaystyle \nu (x\cdot y)=\nu (x)+\nu (y)}$

${\displaystyle \nu (x+y)\geq \min {\big \{}\nu (x),\nu (y){\big \}}}$

${\displaystyle \nu (x)=\infty \iff x=0}$

för alla ${\displaystyle x,y\in K}$.

Notera att den triviala värderingen som bara tar värdena ${\displaystyle 0,\infty }$ är explicit utlämnad.

En kropp med en icke-trivial diskret värdering säges vara en diskret värderingskropp.

Till varje kropp med en diskret värdering ${\displaystyle \nu }$ kan vi associera delringen

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}:=\left\{x\in K\mid \nu (x)\geq 0\right\}}$

av ${\displaystyle K}$, som är en diskret värderingsring. Omvänt kan värderingen ${\displaystyle \nu :A\rightarrow \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$ på en diskret värderingsring ${\displaystyle A}$ utvidgas på ett unikt sätt till en diskret värdering på kvotkroppen ${\displaystyle K={\text{Quot}}(A)}$; den associerade diskreta värderingsringen ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ är helt enkelt ${\displaystyle A}$.

• För ett fixerat primtal ${\displaystyle p}$ och för varje ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$ övrigt än noll kan vi skriva ${\displaystyle x=p^{j}{\frac {a}{b}}}$ med ${\displaystyle j,a,b\in \mathbb {Z} }$ så att ${\displaystyle p}$ delar varken ${\displaystyle a}$ eller ${\displaystyle b}$. Då är ${\displaystyle \nu (x)=j}$ en diskret värdering på ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, känd som den p-adiska värderingen.

• Givet en Riemannyta ${\displaystyle X}$ kan vi betrakta kroppen ${\displaystyle K=M(X)}$ av meromorfa funktioner ${\displaystyle X\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$. För en fixerad punkt ${\displaystyle p\in X}$ definierar vi en diskret värdering på ${\displaystyle K}$ på följande vis: ${\displaystyle \nu (f)=j}$ om och endast om ${\displaystyle j}$ är det största heltalet så att funktionen ${\displaystyle f(z)/(z-p)^{j}}$ kan utvidgas till en analytisk funktion vid ${\displaystyle p}$. Detta betyder att om ${\displaystyle \nu (f)=j>0}$ har ${\displaystyle f}$ en rot av ordning ${\displaystyle j}$ vid punkten ${\displaystyle p}$; om ${\displaystyle \nu (f)=j<0}$ har ${\displaystyle f}$ en pol av ordning ${\displaystyle -j}$ vid ${\displaystyle p}$. Likadant kan man definiera en diskret värdering på funktionskroppen av en algebraisk kurva för varje reguljär punkt ${\displaystyle p}$ på kurvan.

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Discrete valuation, 2 mars 2015.

• Fesenko, Ivan B.; Vostokov, Sergei V. (2002), Local fields and their extensions, Translations of Mathematical Monographs, "121" (Second), Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3259-2