Dixons identitet

Inom matematiken är Dixons identitet (eller Dixons sats eller Dixons formel) en av flera olika men nära relaterade identiteter bevisade av A. C. Dixon för summor med binomialkoefficienter.

Identiteterna

Den ursprungliga identiteten av Dixon (1891) är

∑ k = − a a ( − 1 ) k ( 2 a k + a ) 3 = ( 3 a ) ! ( a ! ) 3 . {\displaystyle \sum _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{2a \choose k+a}^{3}={\frac {(3a)!}{(a!)^{3}}}.}

En generalisering, som också ibland kallas Dixons identitet, är

∑ k = − a a ( − 1 ) k ( a + b a + k ) ( b + c b + k ) ( c + a c + k ) = ( a + b + c ) ! a ! b ! c ! {\displaystyle \sum _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{a+b \choose a+k}{b+c \choose b+k}{c+a \choose c+k}={\frac {(a+b+c)!}{a!b!c!}}}

där a, b och c är icke-negativa heltal. Summan i vänstra membrum är den terminerande hypergeometriska serien

( b + c b − a ) ( c + a c − a ) 3 F 2 ( − 2 a , − a − b , − a − c ; 1 + b − a , 1 + c − a ; 1 ) {\displaystyle {b+c \choose b-a}{c+a \choose c-a}{}_{3}F_{2}(-2a,-a-b,-a-c;1+b-a,1+c-a;1)}

och identiteten följer av identiteten

3 F 2 ( a , b , c ; 1 + a − b , 1 + a − c ; 1 ) = Γ ( 1 + a / 2 ) Γ ( 1 + a / 2 − b − c ) Γ ( 1 + a − b ) Γ ( 1 + a − c ) Γ ( 1 + a ) Γ ( 1 + a − b − c ) Γ ( 1 + a / 2 − b ) Γ ( 1 + a / 2 − c ) {\displaystyle \;_{3}F_{2}(a,b,c;1+a-b,1+a-c;1)={\frac {\Gamma (1+a/2)\Gamma (1+a/2-b-c)\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+a-c)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+a-b-c)\Gamma (1+a/2-b)\Gamma (1+a/2-c)}}}

av Dixon (1902) då a närmar sig ett heltal. Den icke-terminerande identiteten ovan gäller då Re(1 + 1⁄2a − b − c) > 0. Då c närmar sig −∞ blir den Kummers formel för hypergeometriska funktionen 2F1 vid −1.

q-Analogier

En q-analogi av Dixons formel ges av

4 ϕ 3 [ a − q a 1 / 2 b c − a 1 / 2 a q / b a q / c ; q , q a 1 / 2 / b c ] = ( a q , a q / b c , q a 1 / 2 / b , q a 1 / 2 / c ; q ) ∞ ( a q / b , a q / c , q a 1 / 2 , q a 1 / 2 / b c ; q ) ∞ {\displaystyle \;_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}a&-qa^{1/2}&b&c\\&-a^{1/2}&aq/b&aq/c\end{matrix}};q,qa^{1/2}/bc\right]={\frac {(aq,aq/bc,qa^{1/2}/b,qa^{1/2}/c;q)_{\infty }}{(aq/b,aq/c,qa^{1/2},qa^{1/2}/bc;q)_{\infty }}}}

med |qa1/2/bc| < 1.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Dixon's identity, 25 februari 2014.
  • Dixon, A.C. (1891), ”On the sum of the cubes of the coefficients in a certain expansion by the binomial theorem”, Messenger of Mathematics 20: 79–80 
  • Dixon, A.C. (1902), ”Summation of a certain series”, Proc. London Math. Soc. 35 (1): 284–291, doi:10.1112/plms/s1-35.1.284 
  • Ekhad, Shalosh B. (1990), ”A very short proof of Dixon's theorem”, Journal of Combinatorial Theory. Series A 54 (1): 141–142, doi:10.1016/0097-3165(90)90014-N, ISSN 1096-0899 
  • Gessel, Ira; Stanton, Dennis (1985), ”Short proofs of Saalschütz's and Dixon's theorems”, Journal of Combinatorial Theory. Series A 38 (1): 87–90, doi:10.1016/0097-3165(85)90026-3, ISSN 1096-0899 
  • Ward, James (1991), ”100 years of Dixon's identity”, Irish Mathematical Society Bulletin (27): 46–54, ISSN 0791-5578 
  • Wilf, Herbert S. (1994), Generatingfunctionology (2nd), Boston, MA: Academic Press, ISBN 0-12-751956-4