Elementär ekvivalens

Elementär ekvivalens är ett begrepp inom modellteori.

Två formella strukturer ${\displaystyle {\underline {A}}}$ och ${\displaystyle {\underline {B}}}$ är elementärt ekvivalenta, i symboler ${\displaystyle {\underline {A}}\equiv {\underline {B}}}$, om ${\displaystyle {\underline {A}}}$ och ${\displaystyle {\underline {B}}}$ satisfierar samma första ordningens satser.

En första ordningens teori är fullständig om och endast om alla dess modeller är elementärt ekvivalenta.

${\displaystyle {\underline {A}}}$ är en elementär delstruktur till ${\displaystyle {\underline {B}}}$ (${\displaystyle {\underline {B}}}$ är en elementär extension av ${\displaystyle {\underline {A}}}$), i symboler ${\displaystyle {\underline {A}}\preceq {\underline {B}}}$, om det för alla första ordningens formler ${\displaystyle \varphi (x_{1},\dots ,x_{n})}$ och element ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$ gäller att

${\displaystyle {\underline {A}}\models \varphi (a_{1},\dots ,a_{n})}$ omm ${\displaystyle {\underline {B}}\models \varphi (a_{1},\dots ,a_{n})}$.

${\displaystyle {\underline {A}}}$ är elementärt inbäddbar i ${\displaystyle {\underline {B}}}$, om det finns en elementär delstruktur till ${\displaystyle {\underline {B}}}$ som är isomorf med ${\displaystyle {\underline {A}}}$