Paraxiell
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c6/Taylor_Approximation_of_sin%28x%29.jpeg/250px-Taylor_Approximation_of_sin%28x%29.jpeg)
En paraxiell approximation är inom geometrisk optik en approximation för små vinklar som bygger på taylorutvecklingen av de trigonometriska funktionerna och en paraxiell stråle[1] är en ljusstråle som avviker så lite från ett optiskt systems axel att paraxiell approximation kan tillämpas.
Inom paraxiell optik, även kallad gaussoptik (efter Carl Friedrich Gauss) eller optik av första ordningen/graden, ersätts de trigonometriska funktionerna med:
där är den vinkel, uttryckt i radianer, som strålen bildar mot den optiska axeln.
Stundom avses med paraxiell approximation även approximationer av andra ordningen[2], det vill säga:
där termerna av andra graden i taylorutvecklingen tagits med (andragradstermer saknas i taylorutvecklingarna för sinus och tangens).
Approximationer av första ordningen ger ett fel på mindre än en procent vid en avvikelse () under åtta grader[3] och mindre än en promille vid en avvikelse under 2,6°. Andra ordningens approximationer flyttar dock inte gränserna nämnvärt - procentgränsen går vid 10° och promillegränsen vid 3,2°.[4]
Den optik som ingår i elementär utbildning är helt och hållet paraxiell, medan verkligheten uppvisar avvikelser från gaussoptiken som, i stort sett, sammanfattas under beteckningen aberrationer[5].
![]() | ![]() |
Referenser och noter
- Eric W. Weisstein, Paraxial approximation på Wolfram MathWorld.
- ^ Eriterm : femspråkig ordlista för telekommunikation : svenska, engelska, franska, spanska, tyska, Ericsson Telecom AB 1992, sid. 401.
- ^ Med "ordning" avses att man tar med termer i utvecklingarna till och med den grad (potens) de har. Optik av tredje ordningen innebär att man för sinus och tangens tar med termen av grad tre, sålunda: och . I fjärde ordningen tillkommer en fjärdegradsterm för cosinus - och så vidare...
- ^ Eftersom det största felet ges av . För sinus är på motsvarande sätt procentgränsen 14° och för tangens 10°.
- ^ Men som jämförelse kan noteras att approximationer av tredje ordningen ger ett fel på högst en tiondels promille vid 10° (för tangens - för sinus vid 19° och för cosinus vid 14°).
- ^ Kromatisk aberration utgör ett undantag eftersom denna beror på skillnader i brytningsindex för ljus av olika våglängder och inte på approximationer av vinklar.