Tangentfyrhörning

Exempel på en tangentfyrhörning

En tangentfyrhörning eller en omskriven fyrhörning är en fyrhörning i vilken en cirkel kan inskrivas, alltså en cirkel som invändigt tangerar alla fyra sidorna.[1] Medelpunkten hos denna cirkel ligger i skärningspunkten för bisektriserna till de fyra hörnvinklarna. Dessa bisektriser skär inte varandra i en punkt i alla fyrhörningar, utan endast i de fyrhörningar som kan ha en inskriven cirkel. Att bisektrisernas skär varandra är således ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att en fyrhörning ska ha en inskriven cirkel.[2]

Exempel på tangentfyrhörningar är drake, romb och kvadrat. En fyrhörning är en tangentfyrhörning om och endast om dess konsekutiva sidor a, b, c och d uppfyller a + c = b + d (se figuren till höger), vilket kallas Pitots sats.[2]

De viktigaste storheterna hos en tangentfyrhörning uttrycks inte i sidornas längder utan i de fyra tangentlängderna.[3] Med tangentlängderna menas avstånden från de fyra hörnen till de punkter på sidorna där den inskrivna cirkeln tangerar sidorna. De fyra tangentlängderna som utgår ifrån hörnen A, B, C, D betecknas e, f, g, h respektive (se nedre figuren till höger). Då gäller formlerna nedan.

Area

En tangentfyrhörning med tangentlängderna e, f, g, h har arean[4]

K = ( e + f + g + h ) ( e f g + f g h + g h e + h e f ) . {\displaystyle K={\sqrt {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}}.}

Inskrivna cirkelns radie

Tangentlängderna och inskrivna cirkelns radie

Den i en tangentfyrhörning inskrivna cirkeln har en radie som ges av[4][5]:Lemma 2

r = e f g + f g h + g h e + h e f e + f + g + h {\displaystyle r={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}}}

där e, f, g, h är tangentlängderna.

Vinklar

Hörnvinklarna i en tangentfyrhörning ABCD kan uttryckas i tangentlängderna e, f, g, h som[3]:Theorem 8

sin ⁡ A 2 = e f g + f g h + g h e + h e f ( e + f ) ( e + g ) ( e + h ) , {\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(e+f)(e+g)(e+h)}}},}
sin ⁡ B 2 = e f g + f g h + g h e + h e f ( f + e ) ( f + g ) ( f + h ) , {\displaystyle \sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(f+e)(f+g)(f+h)}}},}
sin ⁡ C 2 = e f g + f g h + g h e + h e f ( g + e ) ( g + f ) ( g + h ) , {\displaystyle \sin {\frac {C}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(g+e)(g+f)(g+h)}}},}
sin ⁡ D 2 = e f g + f g h + g h e + h e f ( h + e ) ( h + f ) ( h + g ) . {\displaystyle \sin {\frac {D}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(h+e)(h+f)(h+g)}}}.}

Diagonaler

Längderna på diagonalerna p = AC och q = BD i en tangentfyrhörning ABCD ges av[5]:Lemma 3

p = e + g f + h ( ( e + g ) ( f + h ) + 4 f h ) , {\displaystyle \displaystyle p={\sqrt {{\frac {e+g}{f+h}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4fh{\Big )}}},}
q = f + h e + g ( ( e + g ) ( f + h ) + 4 e g ) {\displaystyle \displaystyle q={\sqrt {{\frac {f+h}{e+g}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4eg{\Big )}}}}

där e, f, g, h är tangentlängderna.

Se även

Referenser

  1. ^ Kevius, Bruno, Fyrhörning, Matematik minimum, [1], hämtat 2018-05-13
  2. ^ [a b] Andreescu, Titu och Enescu, Bogdan, Mathematical Olympiad Treasures, Birkhäuser, 2006, sid. 64–68.
  3. ^ [a b] Josefsson, Martin (2010), ”Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral”, Forum Geometricorum 10: 119–130, http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201013.pdf  Arkiverad 13 augusti 2011 hämtat från the Wayback Machine..
  4. ^ [a b] Casey, John, A Treatise on Plane Trigonometry, Figgis, Dublin, 1888, sid. 188.
  5. ^ [a b] Hajja, Mowaffaq (2008), ”A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic”, Forum Geometricorum 8: 103–106, http://forumgeom.fau.edu/FG2008volume8/FG200814.pdf .