En unitär matris är en kvadratisk matris vars hermiteska konjugat även är dess invers, det vill säga
![{\displaystyle UU^{H}=U^{H}U=I\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9862b8b901e4e4c0a9bd803c2fd431dbeef3a57)
där I är enhetsmatrisen och
är matrisens hermiteska konjugat (transponering och komplexkonjugering av matrisens element).
En komplexvärd kvadratisk matris
![{\displaystyle U={\begin{pmatrix}u_{11}&\cdots &u_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\u_{n1}&\cdots &u_{nn}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f5f36670dcc7293bd66bdc5c55e1f1764b8515e)
är således unitär om dess invers ges av
![{\displaystyle U^{-1}={\begin{pmatrix}{\overline {u_{11}}}&\cdots &{\overline {u_{n1}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\overline {u_{1n}}}&\cdots &{\overline {u_{nn}}}\end{pmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fec939b669828711641d1d66575deedc8cd219ec)
där
betecknar komplexkonjugatet av det komplexa talet
, det vill säga om
![{\displaystyle u_{kl}=a_{kl}+ib_{kl}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cde26f0b4ae482a9bffac9828fec46343c45e9dd)
där
och
är reella tal, är
![{\displaystyle {\overline {u_{kl}}}=a_{kl}-ib_{kl}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bc4c45d16f4e4c6b4e093e542fd3751186afd9a)
Exempel
Matrisen
![{\displaystyle U={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffe0583c5034a1d9c0657ce8a91d5f6201a0ab93)
är unitär, eftersom
![{\displaystyle U\,U^{H}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-i^{2}&0\\0&-i^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfcf3e00522ebef3c17b6484922ba42384023d2)
Egenskaper
För en unitär matris U gäller
- Egenvärdena till U har absolutbeloppet 1
- För två komplexa vektorer x och y, bevaras vektorernas inre produkt (skalärprodukt) vid multiplikation med U, det vill säga
![{\displaystyle \langle Ux,\ Uy\rangle =\langle x,\ y\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89470bb19b280bfe938372c56c4b977a6ff25836)
![{\displaystyle |\det U|=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/797c0f3b731dc8aff9f252c93b5383be1dcd29c7)