Çok değişkenli karmaşık analiz

Matematikte kompleks koordinat uzayı ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ de tanımlı fonksiyonların teorisine; yani, birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonların teorisine çok değişkenli karmaşık analiz denir.

Birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonların incelenmesi tarihi olarak en azından 19. yüzyıla kadar götürülse de, bu teorinin 20. yüzyıl başlarında bir değişkenli karmaşık analizden keskin bir şekilde ayrılan sonuçlarının elde edilmesiyle beraber, teori ${\displaystyle n\geq 2}$ için yeni bir disiplin olarak doğmuştur.

Tek karmaşık değişkenli fonksiyonların teorisinde olduğu gibi bu alanda da incelenen fonksiyonlar genelde holomorf veya başka bir deyişle karmaşık analitiktir. Dolayısıyla, tanımlı oldukları noktalarda yerel olarak z_i karmaşık değişkenlerinde kuvvet serileri ile temsilleri vardır. Başka bir denk ifadeyle, çok boyutlu karmaşık uzayda, holomorf fonksiyonlar polinomların yerel olarak düzgün limitleridir veya ${\displaystyle n}$ boyutlu Cauchy-Riemann denklemlerinin yerel olarak kare-integrallenebilir çözümleridir.^[1][2][3]

Meromorf fonksiyonların yerel bilgilerinden (yani sıfırlarından ve kutuplarından) faydalanarak bu kutuplardan oluşan kümeler hariç her yerde meromorf olan fonksiyon oluşturma problemi Cousin problemi olarak adlandırılır. Ayrıca, çok karmaşık değişkenli analizde yapılan çalışmalar aynı zamanda tıkız kompleks manifoldlar ve kompleks projektif varyete (${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$) alanında yapılan çalışmalar için önemlidir. Bu çalışmalar ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$'de yapılan kompleks analitik geometri veya Stein manifoldu üzerine yapılan çalışmalara değişik bir bakış açısı sağlar.

Bir değişkenli karmaşık analizdeki her noktada karmaşık türevlenebilme üzerinden yapılan holomorfluk tanımı, çok değişkenli analizde de benzer şekilde geçerlidir. Yani, ${\displaystyle n=1}$ iken geçerli olan

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}}$

tanımı, ${\displaystyle n\geq 2}$ iken, her bir karmaşık değişken için (diğerleri sabit tutularak) ayrı ayrı istenir. Bunu sağlayan Hartogs teoremidir.

Bir değişkenli karmaşık analizde holomorf fonksiyonlar tanımlı oldukları her noktada kuvvet serileri olarak temsil edilebilirler. Benzer bir durum, yüksek boyutlarda geçerlidir. Ancak, bir karmaşık değişkenli karmaşık analizde yakınsaklık bölgesi ya disk olur ya da karmaşık düzlem olur. Bu bakış açısıyla, yüksek boyutlarda yakınsaklık bölgesi yuvar ya da kompleks koordinat uzayı değildir. Yüksek boyutlarda, kuvvet serilerinin yakınsaklık bölgesi tam Reinhardt bölgesi olmak zorundadır. Ancak, her tam Reinhardt bölgesi aynı zamanda bir kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesi olmak zorunda değildir. Bunun için bu bölgelere geometrik özellikler getirilmek zorunluluğu vardır. Daha açık bir şekilde yazmak gerekirse, tam Reinhardt ve logaritmik-dışbükey bölgeler bir kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesidir.

Bir değişkenli karmaşık analizde holomorf fonksiyonların integral temsili olan Cauchy integral formülünün ${\displaystyle n\geq 2}$ için genelleştirmeleri mevcuttur. Ancak, yüksek boyutlarda, ${\displaystyle n=1}$ iken olduğu gibi geçerli olan tek bir gösterim mevcut değildir.

Cauchy integral formülünün yüksek boyutlardaki kolay bir genellemesi karmaşık düzlemdeki açık kümelerin kartezyen çarpımından oluşan bölgeler için çok rahatlıkla gösterilebilir. Ancak, bu haliyle hem kartezyen çarpımı olan bölgeler için geçerli olmasıyla hem de katlı integrallerin topolojik sınır değil de sınırların kartezyen çarpımında olmasıyla yüksek boyutlardaki kullanımı güdük kalmaktadır. Yüksek boyutlarda, bu yönde elde edilmiş Bergman-Weil formülü, Bochner-Martinelli formülü ve Cauchy-Fantappié formülü gibi değişik temsiller vardır.

Karmaşık düzlemdeki her bölge ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$, bazı fonksiyonların holomorfluk bölgesidir; başka bir deyişle, her bölgenin üzerinde tanımlı ve holomorf olarak devam ettirelemeyen bir holomorf fonksiyon bulunabilir.^[4][5] Ancak, çok değişkenli karmaşık analiz için durum böyle değildir. Diğer deyişle, ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}(n\geq 2)}$'deki bazı bölgeler, herhangi bir fonksiyonun holomorfluk bölgesi değildir. Hartogs önsavı ve Hartogs devam teoremi ile kanıtlanan bu özellik sayesinde, holomorfluk bölgesinin karakterizasyonu bu disiplinde önemli bir yer tutar.

Bir değişkenli karmaşık analizde, karmaşık analizin düzleme eşit olmayan ve basit bağlantılı olan her altkümesi birim diske birebir-örten ve tersi de holomorf olan fonksiyonlar vasıtasıyla denktir. Ancak, benzer bir sonuç yüksek boyutlarda her zaman geçerli değildir. Mesela, Poincaré ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$deki birim polidisk ile birim yuvarın arasında böyle bir dünüşüm olamayacağını göstermiştir.

Bu yönde bilinen ayırıcı başka bir özellik Fatou-Bieberbach bölgesidir. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$'nin özalt kümesi olup da kompleks koordinat uzayı ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ye birebir, örten ve tersi de holomorf olan fonksiyonlar vasıtasıyla denk olan bu bölgeler karmaşık düzlemde (yani ${\displaystyle n=1}$ iken) bulunmaz.