De Gua teoremi

Adını Fransız matematikçi Jean Paul de Gua de Malves'den alan De Gua teoremi, Pisagor teoreminin üç boyutlu bir analojisidir.

Bir dört yüzlünün dik açılı bir köşesi varsa (bir küpün köşesi gibi), o zaman dik köşenin karşısındaki yüzün alanının karesi, diğer üç yüzün alanlarının karelerinin toplamına eşittir.

${\displaystyle A_{ABC}^{2}=A_{\color {blue}ABO}^{2}+A_{\color {green}ACO}^{2}+A_{\color {red}BCO}^{2}}$

Pisagor teoremi ve de Gua teoremi dik köşe açılı n-simpleks (n = 2, 3) hakkındaki genel bir teoremin özel durumlardır. Bu da Donald R. Conant ve William A. Beyer'in^[1] daha genel bir teoreminin özel bir durumudur ve aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

U, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$'nin (${\displaystyle k\leq n}$ olmak üzere) k-boyutlu afin alt uzayının ölçülebilir bir alt kümesi olsun. Tam olarak k elemanlı herhangi bir ${\displaystyle I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}$ alt kümesi için, ${\displaystyle U_{I}}$ U'nun ${\displaystyle e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}}$ doğrusal açıklığı üzerine ortogonal izdüşümü olsun, burada ${\displaystyle I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}}$ ve ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$için standart taban (doğal taban)dır. Sonra,

${\displaystyle {\mbox{vol}}_{k}^{2}(U)=\sum _{I}{\mbox{vol}}_{k}^{2}(U_{I}),}$

burada ${\displaystyle {\mbox{vol}}_{k}(U)}$ U'nun k-boyutlu hacmi ve toplam k elementli tüm ${\displaystyle I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}$ alt kümeler üzerindedir.

De Gua'nın teoremi ve dik köşe açılı n-simpliklere genellemesi (yukarıda), k = n-1 ve U’nun koordinat eksenlerinde köşeleri olan ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$'de bir (n−1)-simpleks olduğu özel duruma karşılık gelir. Örneğin, n = 3, k = 2 ve U ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$içinde A, B ve C köşeleri sırasıyla ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$ ve ${\displaystyle x_{3}}$ eksenlerinde yer alan ${\displaystyle \triangle ABC}$ üçgenidir. ${\displaystyle \{1,2,3\}}$'ün tam olarak 2 elemanlı alt kümeleri ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle \{2,3\}}$, ${\displaystyle \{1,3\}}$ ve ${\displaystyle \{1,2\}}$'dir. Tanım olarak, ${\displaystyle U_{\{2,3\}}}$ ${\displaystyle U=\triangle ABC}$'nin ${\displaystyle x_{2}x_{3}}$-düzleminde ortogonal izdüşümüdür, yani ${\displaystyle U_{\{2,3\}}}$ köşeleri O, B ve C olan ${\displaystyle \triangle OBC}$ üçgenidir, burada O '${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$'ün orjinidir. Benzer şekilde, ${\displaystyle U_{\{1,3\}}=\triangle AOC}$ ve ${\displaystyle U_{\{1,2\}}=\triangle ABO}$ olup, Conant-Beyer teoremi aşağıdaki gibi ifade edilir;

${\displaystyle {\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle ABC)={\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle OBC)+{\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle AOC)+{\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle ABO),}$

bu ise de Gua teoremidir.

De Gua teoreminin dik köşe açılı n-simplekslere genelleştirilmesi de Cayley-Menger determinat formülünün özel bir durumu olarak elde edilebilir.

Jean Paul de Gua de Malves (1713-1785), bu teoremi 1783'te yayınladı, ancak aynı zamanda teoremin biraz daha genel bir versiyonu başka bir Fransız matematikçi Charles de Tinseau d'Amondans (1746-1818) tarafından da yayınlandı. Ancak teorem, Johann Faulhaber (1580-1635) ve René Descartes (1596-1650) tarafından çok daha önce biliniyordu.^[2]

Bir köşesi dik açılı olan bir dört yüzlü verilsin. Dik açılı köşeye dokunan üç yüzün alanları ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3}}$ ve dik açılı köşenin karşısındaki "hipotenüs yüzü" alanı ${\displaystyle H}$ şeklinde etiketlensin, De Gua teoremi aşağıdaki eşitliği ifade etmektedir:

${\displaystyle H^{2}=(A_{1})^{2}+(A_{2})^{2}+(A_{3})^{2}}$.

Bu ispatta Heron formülünü kullanacağız. Heron formülü, bir üçgenin alanını kenar uzunlukları cinsinden verir. Kenarları ${\displaystyle a,b,c}$ ve yarı çevresi ${\displaystyle s={\frac {1}{2}}(a+b+c)}$ olan bir üçgenin alanı aşağıdaki şekilde bulunur:

${\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$.

De Gua teoremi bağlamında, dört yüzlünün altı bacağı, ${\displaystyle l_{1},l_{2},l_{3}}$ ve ${\displaystyle h_{1},h_{2},h_{3}}$ şeklinde etiketlensin. Burada ${\displaystyle l_{i}}$, dik açılı köşeden çıkan bacaklar ve ${\displaystyle h_{i}}$ ise hipotenüs yüzünün üç kenarıdır.

Dik açılı köşeye temas eden üç yüzün alanları sırasıyla;

${\displaystyle A_{3}={\frac {1}{2}}l_{1}\cdot l_{2},\quad A_{1}={\frac {1}{2}}l_{2}\cdot l_{3},\quad A_{2}={\frac {1}{2}}l_{3}\cdot l_{1}.}$'dir.

Heron formülünü kullanarak hipotenüs yüzünün alanı aşağıdaki şekilde hesaplanır:

${\displaystyle H={\frac {1}{4}}{\sqrt {(h_{1}+h_{2}+h_{3})(h_{1}+h_{2}-h_{3})(h_{2}+h_{3}-h_{1})(h_{3}+h_{1}-h_{2})}}}$.

Bunu bazı cebirsel işlemlerle aşağıdaki şekilde genişletebiliriz.

${\displaystyle H^{2}={\frac {1}{16}}\left(2h_{1}^{2}h_{3}^{2}+2h_{2}^{2}h_{3}^{2}+2h_{1}^{2}h_{2}^{2}-h_{1}^{4}-h_{2}^{4}-h_{3}^{4}\right)}$.

Şimdi, Pisagor teoremini kullanarak elde edebileceğimiz uzunluklar,

${\displaystyle h_{1}^{2}=l_{2}^{2}+l_{3}^{2},\quad h_{2}^{2}=l_{1}^{2}+l_{3}^{2},\quad h_{3}^{2}=l_{1}^{2}+l_{2}^{2}}$ olarak hesaplanır.

Ve böylece terimleri yerine koyup sadeleştirerek aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

${\displaystyle H^{2}={\frac {1}{4}}\left(l_{1}^{2}l_{2}^{2}+l_{3}^{2}l_{2}^{2}+l_{1}^{2}l_{3}^{2}\right)}$

ve teorem kanıtlanmış olur.

OA, OB, OC kenarlarının ilgili uzunlukları a, b, c olsun.

Dört yüzlü tarafından kesilen şeklin iç hacmi, abc/6 = c/3 ${\displaystyle A_{\color {blue}ABO}}$ = b/3${\displaystyle A_{\color {green}ACO}}$ = a/3 ${\displaystyle A_{\color {red}BCO}}$ aynı zamanda h, ABC yüzü ile ilişkili yüksekliği göstermek üzere h/3 ${\displaystyle A_{ABC}}$'ye eşittir.

${\displaystyle \scriptstyle {\overrightarrow {n}}=(bc)^{2}{\overrightarrow {OA}}+(ac)^{2}{\overrightarrow {OB}}+(ab)^{2}{\overrightarrow {OC}}}$ vektörü gibi ABC düzlemine normaldir, bu yükseklik ${\displaystyle \scriptstyle h={<{\overrightarrow {OA}}|{\overrightarrow {n}}> \over ||{\overrightarrow {n}}||}}$ ile gösterilir.

Dolayısıyla, hacimleri eşitleyerek: ${\displaystyle {\frac {abc}{6}}={\frac {1}{3}}{\frac {abc}{\sqrt {(bc)^{2}+(ac)^{2}+(ab)^{2}}}}A_{ABC}}$. Ve basitleştirerek ${\displaystyle 4A_{ABC}^{2}=(ab)^{2}+(bc)^{2}+(ac)^{2}}$'ye yani istenen formüle ulaşılır.

• Eric W. Weisstein, de Gua's theorem (MathWorld)
• Sergio A. Alvarez: Note on an n-dimensional Pythagorean theorem 2 Ekim 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., Carnegie Mellon University.
• De Gua's Theorem, Pythagorean theorem in 3-D 3 Nisan 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. - Graphical illustration and related properties of the tetrahedron.

• Kheyfits, Alexander (2004). "The Theorem of Cosines for Pyramids". The College Mathematics Journal. Mathematical Association of America. 35 (5): 385-388.  Proof of de Gua's theorem and of generalizations to arbitrary tetrahedra and to pyramids.
• Lévy-Leblond, Jean-Marc (2020). "The Theorem of Cosines for Pyramids". The Mathematical Intelligencer. SpringerLink.  Application of de Gua's theorem for proving a special case of Heron's formula.
• Rasul A. Khan, (2013), The cosine rule in three dimensions and de Gua's theorem, The Mathematical Gazette, Volume 97, Issue 539, ss. 281-284, https://doi.org/10.1017/S0025557200005945, makale
• Charles Frohman, (2010), The Full Pythagorean Theorem, s. 3, Makale 26 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Magdalini Kokkaliari, (2013), The Pythagoras' Theorem: Is the Methuselah theorem still alive?, Makale