Gauss fonksiyonu
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/74/Normal_Distribution_PDF.svg/360px-Normal_Distribution_PDF.svg.png)
Matematikte Gauss fonksiyonu (Fonksiyon adını Carl Friedrich Gauss'tan alır), bir fonksiyon biçimidir ve şöyle ifade edilir:
Bazı reel sabitler için; a, b, c ve e ≈ 2,71828...(Euler sayısı).
Gauss fonksiyonları, istatistikte normal dağılım tanımlamak için sıkça kullanılır.[1] Ayrıca sinyal işlemede, Gauss filtresini tanımlamak; görüntü işlemede, iki boyutlu Gauss fonksiyonlarındaki Gauss bulanıklığında; matematikte, ısı denklemi ve difüzyon denklemini çözmek ve Weierstrass dönüşümünü tanımlamak için kullanılır.[2]
Özellikleri
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Normal_distribution_pdf.png/220px-Normal_distribution_pdf.png)
Gauss fonksiyonlarına üstel fonksiyon uygulanarak genel dördüncü derece fonksiyon elde edilir Gauss fonksiyonları, logaritmanın dördüncü dereceden fonksiyonlarıdır.
Gauss fonksiyonları analitiktir ve limitleri x → ∞ giderken 0'dır.
Gauss fonksiyonları ilkel fonksiyonu olmayan temel fonksiyondur. Gauss fonksiyonunun integrali hata fonksiyonudur. Tüm reel sayılardaki hata fonksiyonları, aşağıdaki Gauss integrali kullanılarak hesaplanabilir:
Bu integral aşağıdaki biçime dönüştürülebilir:
Burada, yalnızca a = 1/(c√(2π)) için integral 1'dir. Bu durumda Gauss integrali, μ = b beklenen değeri ve σ2 = c2 varyansına sahip normal dağıtılmış bir rassal değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu olur, şöyle ki:
Gauss fonksiyonları Fourier dönüşümündeki belirsizlik ilkesine göre sıfıra en yakın alanda bulunurlar.
İki boyutlu Gauss fonksiyonu
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ce/Gaussian_2d.png/300px-Gaussian_2d.png)
İki boyutta Gauss fonksiyonundaki e'nin kuvveti arttırıldığında fonksiyon dördüncü derece biçime dönüştürülür. Sonuçta Gauss fonksiyonu daima elips şeklindedir.
İki boyutlu Gauss fonksiyonuna özel bir örnek şöyle verilebilir:
Burada A katsayısı genlik; xo,yo merkez ve σx, σy, kabarcığın x ve y yayılımlarıdır. Buradaki şekil, A = 1, xo = 0, yo = 0, σx = σy = 1 kullanılarak elde edildi.
Genellikle, iki boyutlu eliptik Gauss fonksiyonu şöyle ifade edilir:
Bunun matrisi şöyledir:
Bu matris "pozitif tanımlı matris" olarak adlandırılır.
Bu formülasyonda A = 1, (xo, yo) = (0, 0), a = c = 1/2, b = 0 kullanılarak buradaki şekil elde edilir.
Genel denklem için parametrelerin anlamı
Denklemin genel biçimi için A katsayısı, tepenin yüksekliği ve (xo, yo), damlacığın merkezidir.
a, b ve c parametreler şöyle verilsin:
Bu durumda damlacık saat yönünde açıyla döndürülür (saat yönünün tersine döndürmek için b katsayısının işaretleri yer değiştirilir). Böylece şekil şöyle olur:
![]() | ![]() | ![]() |
Aşağıdaki Octave kodu kullanılarak parametrelerin değişim etkisi kolayca görülebilir:
A = 1; x0 = 0; y0 = 0; sigma_x = 1; sigma_y = 2; for theta = 0:pi/100:pi a = cos(theta)^2/2/sigma_x^2 + sin(theta)^2/2/sigma_y^2; b = -sin(2*theta)/4/sigma_x^2 + sin(2*theta)/4/sigma_y^2 ; c = sin(theta)^2/2/sigma_x^2 + cos(theta)^2/2/sigma_y^2; [X, Y] = meshgrid(-5:.1:5, -5:.1:5); Z = A*exp( - (a*(X-x0).^2 + 2*b*(X-x0).*(Y-y0) + c*(Y-y0).^2)) ; surf(X,Y,Z);shading interp;view(-36,36);axis equal;drawnow end
Çoğu fonksiyonlar, görüntü işleme ve gözün görme sistemi fonksiyonunun modellemesini hesaplamak için sıkça kullanılır.
Çok boyutlu Gauss fonksiyonu
boyutlu bir uzayda Gauss fonksiyonu şöyle ifade edilir:
Burada, , koordinatlarının sütunu;, , bir "pozitif tanımlı matrisi" ve , matrisin transpozesini (veya devriğini) ifade eder.
Bir Gauss fonksiyonunun integrali tüm boyutlu uzayda şöyle ifade edilir:
Biraz daha genelleştirme yapılırsa Gauss fonksiyonu şöyle olur:
Burada , kaydırma vektörüdür ve matrisi biçiminde simetrik kabul edilebilir. Bu fonksiyona ait aşağıdaki integraller aynı yöntemle hesaplanabilir:
Kaynakça
- ^ O' Hagan, Anthony (2013). The Oxford handbook of applied Bayesian analysis. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0198703174.
- ^ Racine, Jeffrey (2014). The Oxford handbook of applied nonparametric and semiparametric econometrics and statistics. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0199857944.