Bu ilk iki terim Legendre polinomudur. Diğer birkaç Legendre polinomları şunlardır:
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Çözümü
Legendre fonksiyonu, [-1,1] aralığında tanımlı, ±1 noktalarında kaldırılabilir tekilliğe sahip bir denklemdir. Kapalı formu şu şekilde gösterilir.
Burada L, Legendre operatörüdür.
Denklem Frobenius yöntemi ile, p=0 alınarak çözülürse.
ifadeleri denklemde yerlerine koyularak,
Bu eşitlikten çıkan karakteristik denklem ise:
olur. Genellenirse
Bu şekilde geriye dönerek tekrarlanarak çözüm bulunur. Çözümün sonlu olabilmesi için
şartı sağlanması gerektiğinden, karakteristik denklem yardımıyla elde edilen çözümün sonlu olması ancak
şeklinde serinin kesilmesi ile olur. Bu şekilde oluşan polinomlara Legendre polinomları denir ve dolayısıyla bu polinomlar Legendre diferansiyel denkleminin çözümüdür.
Legendre polinomlarının ek özellikleri
Legendre polinomları simetrik veya antisimetriktir, Şöyle ki
[1]
diferansiyel denklem ve diklik özellikleri yardımıyla ölçeklemenin bağımsızlığı,"standardlaştırılmış" (bazen "normalizasyon" denir, ama unutmamalıki güncel norm birim değildir) böylece ölçekleme ile Legendre polinomları'nın tanımı
ve son noktada türev ile veriliyor
yukardaki soruda,Bonnet’in yineleme formülünde üç özyineleme ilişkisi terimi,bilinen Legendre polinomları ile uyumludur
ve
Legendre polinomlarının integrasyonu için kullanışlıdır;
yukardakinden şu görülebilir
veya eşdeğeri
burada −1 ≤ x ≤ 1 aralığındaki normdur
Bonnet’in yineleme formülünden açık gösterim bir endüksiyon ile
elde edilir.Askey–Gasper eşitsizliği'nden Legendre polinomları için okunan
Legendre polinomlarının bir toplamı için ve için Dirac delta fonksiyonuya ilişkilidir
birim vektörlerin bir ölçek çarpımının Legendre polinomları küresel harmonikler ile kullanılan açılımı kullanılabilir
Kayan Legendre polinomları olarak tanımlanır. Burada "kayan" fonksiyon (aslında, bu bir afin dönüşüm'dür) böylece seçilen bu örten gönderme [0, 1] aralığından [−1, 1] aralığına vurgusu yapilan polinomları [0, 1] arasında bulunur:
kayan Legendre polinomları için Rodrigues' formülünün analoğu
ilk birkaç kayan Legendre polinomlarıdır:
n
0
1
1
2
3
4
Legendre fonksiyonları
Polinom çözümleri yanında, Legendre denkleminin polinomal-olmayan çözümlerinin sonsuz seriler ile gösterimi var. Bu ikinci türün Legendre fonksiyonlarıdır, ile ifade edilir.
Diferansiyel denklem
genel çözümü var
,
burada A ve B sabitlerdir.
Kesirli derecenin Legendre fonksiyonları
Kesirli dereceli Legendre fonksiyonları ve kesirli hesap ile tanımlanan kesirli türevlerin başlangıç noktasından ve tam sayı-olmayan faktöriyeller (gamma fonksiyonu ile tanımlanır) Rodrigues' formülü içinde aşağıdadır. Sonuç fonksiyonlar Legendre diferansiyel denklem aracılığıyla (−1,1) yeterli sürekliliktedir,ama son noktasında bundan böyle düzenlidir.Asosiye Legendre polinomları P0n ile Kesirli dereceli Legendre fonksiyonu Pn uyumludur.
^George B. Arfken, Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, Elsevier Academic Press, 2005, pg. 753.
Kaynakça
Şablon:Abramowitz Stegun ref2
Bayin, S.S. (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 2.
Belousov, S. L. (1962), Tables of normalized associated Legendre polynomials, Mathematical tables, 18, Pergamon Press.
Courant, Richard; Hilbert, David (1953), Methods of Mathematical Physics, Volume 1, New York: Interscience Publischer, Inc.
Şablon:Dlmf
Şablon:Dlmf
Refaat El Attar (2009), Legendre Polynomials and Functions, CreateSpace, ISBN 978-1-4414-9012-4
Dış bağlantılar
A quick informal derivation of the Legendre polynomial in the context of the quantum mechanics of hydrogen19 Haziran 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Legendre polynomials", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
Wolfram MathWorld entry on Legendre polynomials6 Mart 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
Module for Legendre Polynomials by John H. Mathews
Dr James B. Calvert's article on Legendre polynomials from his personal collection of mathematics27 Nisan 2006 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
The Legendre Polynomials by Carlyle E. Moore
Legendre Polynomials from Hyperphysics 6 Ekim 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.