在同調代數中,Ext 函子是 Hom 函子的導函子。此函子首見於代數拓撲,但其應用遍佈許多領域。
定義
設
為有充足內射元的阿貝爾範疇,例如一個環
上的左模範疇
。固定一對象
,定義函子
,此為左正合函子,故存在右導函子
,記為
。當
時,常記之為
。
根據定義,取
的內射分解
![{\displaystyle J(B)\longleftarrow B\longleftarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c49f392bf1c8329ee9f351f520ffc340c1a1846)
並取
,得到
![{\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,J(B))\longleftarrow \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)\longleftarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc8b38200cb01cbce7e55c5ee37b6174901fee9b)
去掉首項
,最後取上同調群,便得到
。
另一方面,若
中也有充足射影元(例如
),則可考慮右正合函子
及其左導函子
,可證明存在自然同構
。換言之,對
取射影分解:
![{\displaystyle P(A)\longrightarrow A\longrightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/512fe214f8d8be47347f5c0ffc9c35bb2683adb0)
並取
,得到
![{\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(P(A),B)\longrightarrow \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)\longrightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a27153b9bdf3c196b2d2739efb519fb82ffa7998)
去掉尾項
,其同調群同構於
。
基本性質
- 若
是射影對象或
是內射對象,則對所有
有
。 - 反之,若
,則
是射影對象。若
,則
是內射對象。 ![{\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(\bigoplus _{i}A_{i},B)=\coprod _{i}\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A_{i},B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69e51e0fe8bd9876191f508968e9901d7246f304)
![{\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,\prod _{j}B_{j})=\prod _{j}\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,B_{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c0251f68ded9e1ce84eff53bc568c6dd257259c)
- 根據導函子性質,對每個短正合序列
,有長正合序列:
![{\displaystyle \cdots \to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n-1}(A,B'')\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B')\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B'')\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n+1}(A,B'')\to \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/861e6d076369fac6fb6a86efa1c194fa767f9a9f)
- 承上,若
有充足的射影元,則對第一個變數也有長正合序列;換言之,對每個短正合序列
,有長正合序列
![{\displaystyle \cdots \to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n-1}(A',B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A'',B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A',B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n+1}(A'',B)\to \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee9122bc01e222a612ee3748e5be841d5800999f)
譜序列
今設
為含單位元的環,並固定一環同態
。則由雙函子的自然同構
![{\displaystyle \mathrm {Hom} _{B}(-,\mathrm {Hom} _{A}(B,-))\simeq \mathrm {Hom} _{A}(-,-)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3af781cb290c370edaaa6f355c0e0154dfd54e9)
導出格羅滕迪克譜序列:對每個
-模
及
-模
,有譜序列
![{\displaystyle E_{2}^{pq}=\mathrm {Ext} _{B}^{p}(M,\mathrm {Ext} _{A}^{q}(B,N))\Rightarrow \mathrm {Ext} _{A}^{p+q}(M,N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fab82bfc740a2ee8cd6f3ce9fca72299ba49ddc)
這個關係稱為換底。
Ext函子與擴張
Ext 函子得名於它與群擴張的聯繫。抽象地說,給定兩個對象
,在擴張
![{\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c630ec5832c006d2065cd40610d0d636553aaf94)
的等價類與
之間有一一對應,下將詳述。
對任兩個擴張
與 ![{\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow C'\rightarrow A\rightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b3496795119f1452a8fa4644843f58950760ac6)
可以構造其 Baer 和 為
,其中
(反對角線)。這在等價類上構成一個群運算,可證明此群自然地同構於
。
對更高階的擴張,同樣可定義等價類;對任兩個 n-擴張(n>1)
與 ![{\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow X'_{n}\rightarrow \cdots \rightarrow X'_{1}\rightarrow A\rightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/910e040f2bb19e3098a4e1d1cf51501cc0f3ba0a)
此時的 Baer 和定為
![{\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow Y_{n}\rightarrow X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\rightarrow \cdots \rightarrow X_{2}\oplus X'_{2}\rightarrow X''_{1}\rightarrow A\rightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef7b20c5d8b16009feda90f4880a565405131204)
其中
(反對角線
之定義同上),
。這也在 n-擴張的等價類上構成一個群運算,此群自然同構於
。藉此,能在任何阿貝爾範疇上定義 Ext 函子。
重要例子
- 設
為群,取環
,可以得到群上同調:
。 - 設
為局部賦環空間
上的
-模範疇,可以得到層上同調:
。 - 設
為李代數,取環
為其泛包絡代數,可以得到李代數上同調:
。 - 設
為域,
為
-代數,取環
,
帶有自然的
-模結構,此時得到 Hochschild 上同調:
。
文獻
- Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1