LOCC

LOCC 是 Local Operations（局域操作）and Classical Communications（經典通訊）的縮寫，它是一種用在量子信息上、對量子態進行操作的方法。簡單的說，當一個量子系統被分成許多部份，每個部份的測量和操作只限制在該部分上，各個部分之間允許經典通訊，例如：打電話。許多量子信息的工作必須藉由 LOCC 來完成，例如：假設某次實驗室製備了一個貝爾態，但是卻不能確定這個貝爾態是 ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ 還是 ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$，其中 ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ 和 ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ 是

${\displaystyle |\psi _{1}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}\right)}$

${\displaystyle |\psi _{2}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\right)}$

A和B兩個量子位元是分隔兩地的，並且由愛麗絲對量子位元A進行操作，由鲍勃對量子位元B進行操作。首先愛麗絲測量量子位元A並得到結果0，此時我們仍不知道當初實驗室製備的貝爾態是 ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ 還是 ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$。這時候愛麗絲藉由打電話把結果告訴鲍勃，接著鲍勃對量子位元B進行測量並得到結果0，現在鲍勃得知波函數塌縮成 ${\displaystyle |0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}}$，所以推得實驗室製備的貝爾態是 ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$。

將一個量子系統分成兩部分，利用 LOCC 操作，把一個糾纏態轉換成另一個糾纏態。 舉例說明：愛麗絲和鲍勃分別擁有一個糾纏態(純態)的一部分，例如 ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\mid \uparrow \downarrow \rangle -\mid \downarrow \uparrow \rangle )}$。愛麗絲和鲍勃都只能對各自的自旋進行操作，也就是Local Operation的意思。當然這個操作也包含測量，當愛麗絲進行S_z的測量後，得到本征值+ħ/2，波函數塌縮成 ${\displaystyle \mid \uparrow \downarrow \rangle }$，然後愛麗絲透過電話告訴鲍勃結果，這就是Classical Communications，鲍勃知道結果後也相應做了一個Local Operation，現在鲍勃做σ_x操作，於是波函數變為 ${\displaystyle \mid \uparrow \uparrow \rangle }$。如果剛才愛麗絲測得本征值-ħ/2，波函數塌縮成 ${\displaystyle \mid \downarrow \uparrow \rangle }$，則愛麗絲立即進行σ_x操作，然後經由電話告訴鲍勃，要求鲍勃不做任何操作，結果仍然可將波函數透過利用LOCC轉換成 ${\displaystyle \mid \uparrow \uparrow \rangle }$。

顯然利用 LOCC 把某個態 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ 轉換成 ${\displaystyle |\phi \rangle }$，A與B之間的糾纏只能變小或維持不變。但是並不是只要 ${\displaystyle |\phi \rangle }$ 的糾纏熵比 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ 的糾纏熵還小就必定能透過 LOCC 作轉換。要判斷可不可轉，首先，可以把 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ 和 ${\displaystyle |\phi \rangle }$ 分別做施密特分解（英语：Schmidt decomposition）：

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i=1}^{D}{\sqrt {\omega _{i}}}|a_{i}\rangle |b_{i}\rangle }$

${\displaystyle |\phi \rangle =\sum _{i=1}^{D}{\sqrt {\omega _{i}'}}|a_{i}'\rangle |b_{i}'\rangle }$

將Schmidt值由大至小排列然後進行比較。尼爾森(Nielsen)在1999年提出定理^[1]:

若Majorization

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\omega _{i}\leq \sum _{i=1}^{k}\omega _{i}'}$,

對於所有 ${\displaystyle k}$ 都成立，則 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ 可利用LOCC轉換成 ${\displaystyle |\phi \rangle }$。

然而若上述條件不成立，並不表示 LOCC 轉換必定不成立。如果允許引入催化態，LOCC 轉換仍有可能的。

Jonathan 和 Plenio 在尼爾森定理發表不久即給出一個催化轉換的例子^[2]：考慮

${\displaystyle |\psi \rangle ={\sqrt {0.4}}|00\rangle +{\sqrt {0.4}}|11\rangle +{\sqrt {0.1}}|22\rangle +{\sqrt {0.1}}|33\rangle }$

${\displaystyle |\phi \rangle ={\sqrt {0.5}}|00\rangle +{\sqrt {0.25}}|11\rangle +{\sqrt {0.25}}|22\rangle }$

${\displaystyle |c\rangle ={\sqrt {0.6}}\mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.4}}\mid \downarrow \downarrow \rangle }$

以上三個態已經過施密特分解（英语：Schmidt decomposition）且係數皆由大至小排列，以下進行 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ 和 ${\displaystyle |\phi \rangle }$ 驗算係數的前 ${\displaystyle k}$ 項之和：

${\displaystyle k}$	${\displaystyle |\psi \rangle }$	${\displaystyle |\phi \rangle }$
0	0.4	0.5
1	0.8	0.65
2	0.9	1.0
3	1.0	1.0

以上表格中，若「${\displaystyle |\psi \rangle }$ 的前 ${\displaystyle k}$ 項之和」比「${\displaystyle |\phi \rangle }$ 的前 ${\displaystyle k}$ 項之和」小的話，填入綠色；大的話，填入紅色；相等則是留下白色。如此一來，觀察 ${\displaystyle k}$ 方向的顏色便一目了然。如果所有顏色皆為綠色，則表示 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ 可經由LOCC轉換成 ${\displaystyle |\phi \rangle }$；如果所有顏色皆為紅色，則表示 ${\displaystyle |\phi \rangle }$ 可經由LOCC轉換成 ${\displaystyle |\psi \rangle }$；如果顏色既有紅色又有綠色，則說明若無催化態便不可轉換。

那麼什麼是「催化轉換」和「催化態」呢？我們考慮直積態 ${\displaystyle |\psi \rangle |c\rangle }$ 和 ${\displaystyle |\phi \rangle |c\rangle }$：

${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.24}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.24}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \\&+{\sqrt {0.06}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.06}}|33\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|33\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\phi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.30}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.20}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle \\&+{\sqrt {0.10}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.10}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}}$

以上各項已按照由大至小排列，接著同樣進行製作表格計算前 ${\displaystyle k}$ 項之和：

${\displaystyle k}$	${\displaystyle |\psi \rangle |c\rangle }$	${\displaystyle |\phi \rangle |c\rangle }$
0	0.24	0.30
1	0.48	0.50
2	0.64	0.65
3	0.80	0.80
4	0.86	0.90
5	0.92	1.00
6	0.96	1.00
7	1.00	1.00

表格做完馬上看出所有顏色皆為綠色，因此根據尼爾森定理，${\displaystyle |\psi \rangle |c\rangle }$ 透過LOCC轉換成 ${\displaystyle |\phi \rangle |c\rangle }$ 是可以的。由於 ${\displaystyle |c\rangle }$ 只是從直積態中直接加入然後轉換完畢便可取走，很像化學反應中的催化劑，因此可稱 ${\displaystyle |c\rangle }$ 是催化態。

2007年塔庫（Turgut）證明了定理^[3]

^{[4] [5] [6]}