Eine Komonade ist in der Kategorientheorie eine Struktur dual zu der der Monade.
Definition
Eine Komonade ist ein Tripel
bestehend aus
- einem Endofunktor
, - einer natürlichen Transformation
und - einer natürlichen Transformation
,
das folgende Bedingungen erfüllt:
und
.
Explizit auf der Ebene von Morphismen von
bedeutet dies, dass für jedes Objekt
aus
gilt
und
.
Koalgebren
Eine Koalgebra für eine Komonade
auf einer Kategorie
ist ein Paar
bestehend aus einem Objekt
von
und einem Morphismus
, so dass
und
. Ein Homomorphismus von Koalgebren
ist ein Morphismus
in
, der
erfüllt. Die Koalgebren bilden eine Kategorie
.
Es gibt einen kanonischen Funktor
, der auf Objekten
ist. Er ist rechtsadjungiert zum Vergissfunktor
.
Komonade zu einem adjungierten Funktorpaar
Es seien
Kategorien und
,
Funktoren, so dass
rechtsadjungiert zu
ist. Eins bzw. Koeins der Adjunktion seien
bzw.
. Dann ist
eine Komonade auf
.
Man erhält einen induzierten Funktor
, so dass
und
gilt. Der Funktor
heißt komonadisch, wenn
eine Äquivalenz von Kategorien ist. Der Monadizitätssatz von Jonathan Mock Beck gibt Kriterien dafür an, wann ein Funktor komonadisch ist.
Ist
eine Komonade auf einer Kategorie
, dann ist die zum adjungierten Funktorpaar
assoziierte Komonade wieder
.
Beispiel
In der Kategorie Set sei der Endofunktor
derjenige der Bildung von
-indizierten Folgen, d. h. für jede Menge
ist
, und für Mengen
und
sowie Abbildungen
ist
gegeben durch
.
Die natürlichen Transformationen
und
seien durch die Familien von Abbildungen
und
,
![{\displaystyle \varepsilon _{X}\colon X^{\mathbb {N} }\to X,\varepsilon _{X}(s):=s(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c3271da9dab70dccf982446a7b0a61b10572c7f)
![{\displaystyle \psi _{X}\colon X^{\mathbb {N} }\to (X^{\mathbb {N} })^{\mathbb {N} },\psi _{X}(s)(n)(m):=s(n+m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd513e0ce9d36f31a8eadebb860be74804378a08)
für beliebige Mengen
gegeben.
Das Tripel
ist nun eine Komonade in Set.
Die Koalgebren für
sind die Abbildungen
, die
und
erfüllen. Mit
,
ist
, und man kann die Koalgebren mit Paaren
mit einer beliebigen Abbildung
identifizieren.
Ist
eine beliebige Menge, dann entsprechen Komonadenstrukturen auf
bijektiv den Monoidstrukturen auf
. Die Multiplikation auf
ist
. Für ein Monoid
kann die Strukturabbildung
einer Koalgebra unter dem Potenzgesetz
mit anderen Abbildungen identifiziert werden:
- einer Abbildung
, die eine Algebra für die Monade
ist - einem Monoidhomomorphismus
, d. h. einer Operation von
auf
.
Literatur
- Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician. Springer-Verlag, Berlin 1971, ISBN 3-540-90035-7 (englisch).