Pääideaalialue

Matematiikassa pääideaalialue eli PID on integraalialue (eli kommutiivinen rengas, jossa ${\displaystyle 0\neq 1}$ ja jossa ${\displaystyle ab=0\Rightarrow a=0\ \lor \ b=0}$), jossa jokainen ideaali on pääideaali eli joukko ${\displaystyle Ra=\{ra:r\in R\}}$ jollain ${\displaystyle a\in R}$.

Pääideaalialueet käyttäytyvät kuten kokonaisluvut jaollisuuden suhteen: millä tahansa PID:n alkiolla on yksikäsitteinen faktorointi (joten aritmeettisen peruslauseen analogia pätee); millä tahansa kahdella PID:n elementillä on suurin yhteinen jakaja (vaikka sitä ei ehkä ole mahdollista löytää käyttämällä Eukleideen algoritmia). Jos x ja y ovat PID:n elementtejä ilman yhteisiä jakajia, niin jokainen PID:n alkio voidaan kirjoittaa muodossa ax + by, jne.

Pääideaalialueet ovat Noetherin renkaita.

Alla esitetyssä inkluusioketjussa kukin algebrallinen käsite tarkoittaa sen käsitteen ilmenemien joukkoa (esimerkiksi "Pseudorengas" tarkoittaa kaikkien pseudorenkaiden joukkoa):

Rngas eli pseudorengas ⊃ rengas ⊃ kommutatiivinen rengas ⊃ kokonaisalue ⊃ faktoriaalinen kokonaisalue ⊃ pääideaalialue ⊃ euklidinen alue ⊃ kunta ⊃ Algebrallisesti suljettu kunta

• ${\displaystyle K}$ : mikä tahansa kunta ,
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ : kokonaislukujen rengas ^[1]
• ${\displaystyle K[x]}$ : yhden muuttujan polynomien renkaat, kun kertoimet otetaan jostakin kunnasta. (Käänteinenkin on totta, eli jos ${\displaystyle A[x]}$ on pääideaalialue, niin ${\displaystyle A}$ on kunta.) Lisäksi yhden muuttujan muodollisten potenssisarjojen rengas on pääideaalialue, kun kertoimet otetaan jostain kunnasta, koska jokainen ideaali on muotoa ${\displaystyle (x^{k})}$ ,
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ eli Gaussin kokonaislukujen rengas ^[2]

• ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]}$ on rengas muttei pääideaalialue, koska ${\displaystyle 4=2\cdot 2=(1+{\sqrt {-3}})(1-{\sqrt {-3}}).}$ Lisäksi ${\displaystyle \langle 2,1+{\sqrt {-3}}\rangle }$ on ideaali, jota mikään yksi alkio ei generoi.
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ : kaikkien polynomien rengas kokonaislukukertoimilla. Se ei ole pääideaalialue, koska ${\displaystyle \langle 2,x\rangle }$ on ideaali, jota mikään yksi alkio ei generoi.
• ${\displaystyle R[x,y,\ldots ],}$ n muuttujan polynomien rengas, missä ${\displaystyle n\geq 2}$, kun kerroinrengas R ei ole pääideaalialue, koska ideaali ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ei ole pääideaali.
• Useimmat algebrallisten kokonaislukujen renkaat eivät ole pääideaalialueita.

Pääideaalialueella millä tahansa kahdella alkiolla a, b on suurin yhteinen jakaja, joka voidaan saada ideaalin (a, b ) generaattorina (virittäjänä).

Esimerkki pääasiallisesta ideaalista, joka ei ole euklidinen alue, on rengas ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right]}$, ^{[3] [4]} tämän todisti Theodore Motzkin ja se oli ensimmäinen tunnettu tapaus. ^[5] Tällä alueella ei ole q ja r :tä, 0 ≤ |r | <4, niin ${\displaystyle (1+{\sqrt {-19}})=(4)q+r}$, huolimatta ${\displaystyle 1+{\sqrt {-19}}}$ ja ${\displaystyle 4}$ joilla on suurin yhteinen jakaja 2 .

• Bézoutin identiteetti