La notation en indice abstrait est un système de notation présentant des similarités avec la convention de sommation d'Einstein et destinée comme cette dernière à l'écriture du calcul tensoriel.
Motivation
Cette notation, due au mathématicien Roger Penrose, a pour but l'écriture pratique d'équations dans lesquelles interviennent des tenseurs ou des champs tensoriels. Il s'agit à la fois :
- de bénéficier de la simplicité d'écriture permise par la convention de sommation d'Einstein ;
- de ne pas dépendre contrairement à la convention d'Einstein d'un choix de base particulier (et donc arbitraire).
Aussi la notation en indices abstraits ne raisonne-t-elle jamais sur les composantes des tenseurs.
Définition
Les indices abstraits peuvent se penser comme des éléments d'un alphabet fini
que l'on va utiliser pour étiqueter des espaces vectoriel et des tenseurs.
Copies d'espaces vectoriels
À partir d'un espace vectoriel
sur le corps commutatif
(en général
ou
) de dimension
, on peut former des copies de
étiquetées par un indice abstrait :
,
,
,
, etc. Les espaces duaux respectifs sont notés
,
,
,
, etc. Si
on peut lui faire correspondre naturellement un élément de
noté
, un élément de
noté
, etc. De même si
, on peut lui faire correspondre naturellement un élément de
noté
, un élément de
noté
, etc.
Copies d'espaces de tenseurs
En généralisant si
est un tenseur de l'espace formé par produit tensoriel
, on peut en définir l'équivalent dans la copie
. Cet équivalent est noté
. Bien sûr il est possible de définir les tenseurs équivalents
,
,
, etc.
Remarque : Pour des raisons qui vont être expliquées ci-après, on s'abstient d'utiliser plusieurs fois le même indice. Des expressions comme
ou
sont donc dépourvues de sens. À noter que par contre
possède bien un sens, mais que celui-ci est différent de celui présenté dans le présent paragraphe.
Ordres des indices
Soit deux tenseurs
et
tels que pour tout vecteur
de
et tout vecteur
de
on a
. Ces deux tenseurs ont un fonctionnement quasi identique. L'ordre des paramètres n'a finalement que très peu d'importance puisque les indices agissent comme des étiquettes garantissant que l'évaluation est faite correctement. On souhaiterait donc pouvoir voir
et
comme de simples conventions d'écriture d'un même tenseur et pouvoir écrire
. Il est possible pour cela de considérer l'espace union
et d'y définir la relation d'équivalence
telle que deux tenseurs
et
sont équivalents si
. On note alors
l'espace quotient dans lequel tout se passe comme si on avait oublié l'ordre des paramètres des tenseurs. Seul leur étiquetage par des indices abstraits est dès lors pertinent. On peut alors considérer que
, que
et que
.
De même on peut par exemple former les espaces vectoriels :
Remarque : On voit ici pourquoi il est important de ne pas utiliser deux fois le même indice au sein d'un même tenseur. Le faire rendrait la désignation des paramètres ambigüe.
Remarque : Soit un tenseur
admettant entre autres une écriture
et encore une écriture
(on a donc le droit d'écrire
). Il est important de comprendre qu'en revanche les symboles
et
désignent a priori des tenseurs différents, bien qu'ils appartiennent tous les deux à
. Il s'agit en effet de copies de
indexées par des indices abstraits différents : on a respectivement
et
. Lorsqu'on quotiente l'espace union
par la relation d'équivalence
afin de forger
, les tenseurs
et
ne se retrouvent pas (sauf cas particulier) dans la même classe d'équivalence. Par ailleurs, une écriture telle que
est dépourvue de signification puisqu'elle ne saurait représenter une copie valable du tenseur non indexé
.
Remarque : Si dans l'exemple précédent
,
et
peuvent être considérés comme des conventions d'écriture d'un même tenseur indexé, il doit cependant rester clair que
,
et
sont des objets différents.
Opérations
Substitution d'indices
Soit l'espace de tenseurs
et un indice
indexant l'espace en question. Si
est un autre indice non utilisé, on peut faire correspondre à tout élément de
sa copie obtenue en substituant
à
. Ainsi à
on fait correspondre sa copie
par substitution de
à
. Les substitutions peuvent être également être faites en parallèle. Ainsi
est obtenu par substitution des indices
à
.
Somme
Si deux tenseurs appartiennent au même espace
, leur somme est définie. Ainsi pour
et
, éléments de
, la somme
est un tenseur de
.
Le produit d'un tenseur de
par un scalaire est défini. Ainsi pour
et
, le produit
est un tenseur de
.
Produit tensoriel
Soit un tenseur de
et un tenseur de
, ces espaces n'ayant pas d'indices en commun. On définit leur produit tensoriel, élément de
. En cas d'indices commun il suffit simplement d'opérer une substitution d'indices préalable.
Par exemple si l'on considère
et
, il existe un tenseur
tel que
. On note plus simplement :
Contraction
Soit un tenseur de
, un indice supérieur (par exemple
) et un indice inférieur (par exemple
) de cet espace. On note la contraction de ce tenseur sur les indices
et
en substituant à
et
un même indice
. Le tenseur obtenu appartient à
.
Par exemple si l'on considère
, il existe un tenseur
formé par contraction de
et
. Ce tenseur appartient à l'espace
(et pas à
comme on pourrait être tenté de le croire, un tel espace n'étant de toute façon pas défini).
Remarque : L'indice utilisé pour la contraction n'a aucune importance (dans la mesure où il n'est pas utilisé ailleurs). Seul sa position compte. On peut même utiliser un des deux indices de départ. De fait on a :
Remarque : Le tenseur
appartient également à l'espace
mais sauf cas particulier
.
Produit contracté
Le produit contracté se note simplement en combinant les deux notations précédentes comme dans l'équation
.
Symétrisation et antisymétrisation
On note
l'ensemble des permutations de
. Pour
, on note
sa signature. Dans ce paragraphe on suppose que le corps
est de caractéristique nulle (dans le cas contraire le terme
pourrait être indéfini).
Symétrisation
Soit le tenseur contravariant
, on définit son symétrisé, noté
, par :
Ainsi par exemple
.
Il en va évidemment de même pour des tenseurs covariants :
L'opération de symétrisation peut également s'accomplir sur un sous-ensemble d'indices et reste possible si le tenseurs présente à la fois des indices covariants et contravariant. Ainsi
. On peut même effectuer plusieurs symétrisations à la fois, comme dans
, symétrisé de
sur les sous-ensembles d'indices
,
et
Remarque : Il est possible d'exclure des indices au moyen des symboles || comme dans
Remarque : Cette opération permet de définir simplement la notion de tenseur symétrique sur certains de ses indices (et donc également de tenseur totalement symétrique). Par exemple
est symétrique sur
et
si et seulement si
.
Antisymétrisation
De façon tout à fait similaire, on définit l'antisymétrisé de
par :
Ainsi par exemple
.
L'antisymétrisé de
est de même :
Les mêmes possibilité et conventions que la symétrisation s'appliquent. Ainsi
. On peut également utiliser symétrisations et antisymétrisations en même temps, comme dans
.
Remarque : Cette opération permet de définir simplement la notion de tenseur antisymétrique sur certains de ses indices (et donc également de tenseur totalement antisymétrique). Par exemple
est antisymétrique sur
et
si et seulement si
.
Compatibilité avec les autres opérations
Il n'est pas possible de symétriser ou d'antisymétriser des indices provenant de différents tenseurs utilisées dans une somme. Ainsi la notation
n'a aucun sens. En revanche si l'on note
, on a bien
.
Le choses se passent beaucoup mieux avec un produit.
est un tenseur valide égal à
De même symétrisation et antisymétrisation sont compatibles avec les contractions dans la mesure où les contractions sont réalisées en dernier.
est le résultat de multiples symétrisations et antisymétrisations de
définissant un tenseur
suivi de contractions multiples :
Abaissement d'indice
Si
est naturellement muni d'une forme bilinéaire symétrique
, une nouvelle opération est permise. En effet
en tant que tenseur (2-covariant symétrique) admet des copies indexées
,
,
... On peut à partir d'un tenseur de
possédant au moins un indice supérieur (par exemple
), contracter ce dernier avec un indice d'une copie de
(par exemple
). Le résultat est un tenseur de
ou, après substitution de l'indice
à
, de
. D'où le nom d'abaissement d'indice.
On peut par exemple à partir de
former le tenseur
. En pratique on conserve le même nom pour le tenseur et on écrit plus simplement
. De même on peut former le tenseur
obtenu par abaissement du second indice ainsi que le tenseur
obtenu par abaissement des deux indices.
Remarque : Conserver le même symbole pour le tenseur n'introduit pas d'ambigüité puisqu'en tant qu'élément de
,
n'admet en effet aucune copie indexée dans
,
ou
.
Remarque : On voit ici pourquoi il peut être important de conserver l'ordre relatif des indices inférieur et supérieur. Une notation telle que
plutôt que
ne permettrait pas de savoir où positionner les indices abaissés par rapport à l'indice
.
Elévation d'indice
Si l'on a plutôt naturellement une forme bilinéaire
sur
, c'est l'opération inverse qui est valide. Grâce aux copies
,
,
, ... on peut élever un indice sur le même principe (produit contracté avec une de ces copies et éventuelles substitutions d'indice). Par exemple le tenseur
permet de définir les nouveaux
,
,
,
,
,
et
.
Si la forme bilinéaire symétrique
sur
est non dégénérée, elle induit naturellement une forme bilinéaire symétrique
sur
. Ce fait rend possible à la fois l'abaissement et l'élévation d'indice de manière compatible : abaisser un indice grâce à
puis l'élever grâce à
permet de retrouver le tenseur initial (de même pour une élévation suivie d'un abaissement). En conservant les conventions définies précédemment, si
,
,
, ... sont des copies indexées de
, on peut noter
,
,
, ... les copies indexées de
.
Remarque : On a
où
est le tenseur correspondant à l'endomorphisme identité de
(correspondant au symbole de Kronecker dans la convention d'Einstein).
Si
est une variété différentielle de dimension
, on peut en chaque point
définir des copies indexées de l'espace tangent
, notées
,
,
,
... et de même des copies de l'espace cotangent
, notées
,
,
,
... Comme précédemment on va pouvoir pouvoir former les espaces de tenseurs indexés
.
Le but est ici bien évidemment de généraliser ces notions ayant un sens au point
en définissant des fibrés vectoriels munis d'indices
dont les sections seront des champs de tenseurs indexés. Cette extension naturelle induit une généralisation de toutes les opérations vues jusqu'à présent (substitution d'indice, combinaison linéaire, produit tensoriel, contraction, symétrisation, antisymétrisation) pour les champs de tenseurs. À cela s'ajoutent des opérations propres aux champs.
Soit
un champ vectoriel (sans indice). Soit par exemple
un champ de tenseur muni d'indice. La dérivée de Lie de
suivant
est un champ de tenseur muni des mêmes indices et noté
. Ce champ est égal à la copie indexée par
de
, la dérivée de Lie du champ de tenseur
suivant
.
Remarque : On note que le champ obtenu possède les mêmes indices que le champ soumis à la dérivation. En effet l'opérateur
est un endomorphisme sur l'espace vectoriel des sections de tout fibré vectoriel formé par produit tensoriel des fibrés tangent et cotangent. Pour cette raison, on n'utilise pas de copie avec indices pour le champ vectoriel
. Une notation
donnerait en effet l'impression de rajouter un indice. Par ailleurs comme seul un champ de vecteur a du sens ici, la présence de l'indice n'apporterait aucune information nouvelle.
Toute
-forme différentielle peut être vue comme un champ de tenseurs
-covariant
antisymétrique (donc vérifiant
). La dérivée extérieure
ajoutant un indice, on définit les copies indexées
,
, ... Ceci permet donc d'écrire la dérivée extérieure indicée par
de
comme
.
Remarque : Il ne faut bien entendu pas lire la notation
comme un produit tensoriel entre
et
, ce qui n'aurait aucun sens puisque
n'est pas un tenseur.
Soit
un champ vectoriel (sans indice). Soit par exemple
un champ de tenseur muni d'indice. Pour un opérateur de dérivée covariante donné noté
, la dérivée covariante de
suivant
est un champ de tenseur muni des mêmes indices. On pourrait choisir de le noter
de manière similaire à la dérivée de Lie. Cependant le caractère tensoriel des dérivées covariantes permet de les voir plus généralement comme opérations ajoutant un indice. La dérivée covariante indexée par
de
est un champ de tenseur muni des mêmes indices ainsi que de l'indice
et notée
. On peut comme pour la dérivée extérieure définir les copies avec indices
,
,
,
...
Remarque : Avec cette notation, choisir une direction de dérivation (par exemple celle donnée par le champ vectoriel
dans l'énoncé précédent) revient alors à calculer la contraction
de
avec une copie indexée de
.
Remarque : Une notation similaire
pour la dérivée de Lie est impossible du fait même du caractère non tensoriel de
, c'est-à-dire du fait qu'on n'a pas contrairement aux dérivées covariantes
pour
champ scalaire sur
.
Remarque : La dérivée extérieure
peut se définir à partir d'une dérivée covariante
par
pour toute forme différentielle
. On démontre qu'une telle formule est indépendante du choix de
comme le présuppose l'unicité de
.
Voir aussi
Articles connexes
Bibliographie
- Roger Penrose, The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe, 2004, pp 239-243.
- Roger Penrose et Wolfgang Rindler, Spinors and space-time, volume I, two-spinor calculus and relativistic fields.
Liens externes
- Geometrical Quantum Mechanics par Robert Geroch, pp 1-10.
- Topics in the Foundations of General Relativity and Newtonian Gravitation Theory par David B. Malament, pp 22-31.
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