In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la base duale è una particolare base costruita a partire da una base data. Il concetto di base duale è utile nello studio dello spazio duale e dei tensori.
Definizione
Dato uno spazio vettoriale
su campo
di dimensione finita
, lo spazio duale
è l'insieme di tutte le applicazioni lineari da
in
.
Fissata per
una base
, la base duale
è una base di
univocamente determinata dalle seguenti relazioni:
![{\displaystyle {\textbf {e}}^{i}({\textbf {e}}_{j})=\delta _{ij},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2b120651a05cb1a0c57deacdd5cbbab4fa287aa)
dove
è la delta di Kronecker.
Proprietà della base duale
Effetto su un vettore
Ogni vettore
di
può essere espresso in modo univoco come combinazione lineare degli elementi della base:
![{\displaystyle {\textbf {v}}=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\textbf {e}}_{i}=v^{i}{\textbf {e}}_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae13a6254b70a969746b982ae046fdb69fe7a6b3)
dove l'ultima notazione è quella cosiddetta di Einstein.
Il risultato dell'applicazione di
su
è il seguente:
![{\displaystyle {\textbf {e}}^{i}({\textbf {v}})={\textbf {e}}^{i}\left(\sum _{k=1}^{n}v^{k}{\textbf {e}}_{k}\right)=\sum _{k=1}^{n}v^{k}\delta _{ik}=v^{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15e569d6f8f41426e8194eefdf3db35eae800381)
Quindi
è l'applicazione che "estrae" da un vettore
la
-ma componente
delle sue coordinate rispetto alla base. Tale applicazione è a volte chiamata proiettore: può infatti essere interpretata come una proiezione sulla retta generata da
.
Coordinate rispetto alla base duale
Sia
un generico elemento di
, cioè una applicazione lineare
da
a
. Applicata su un vettore
![{\displaystyle {\textbf {v}}=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\textbf {e}}_{i}=v^{i}{\textbf {e}}_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3adb565b6fcd1b5d48593f49d3d2c2ed1da7634)
produce la relazione:
![{\displaystyle f({\textbf {v}})=\sum _{i=1}^{n}v^{i}f({\textbf {e}}_{i})=v^{i}f({\textbf {e}}_{i}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc04ce45d55445da99c8916da5bcc2689a84d0bf)
L'applicazione
è quindi univocamente definita da come agisce sugli elementi della base di
. D'altra parte la
trasforma un vettore in un elemento del campo
, per cui la
è definita dagli
"numeri":
![{\displaystyle f_{i}=f({\textbf {e}}_{i}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ec154a727ed25ccdaa57728a56c65f3eb9f39b9)
Di conseguenza, la
è ottenuta come combinazione lineare degli
:
![{\displaystyle f=\sum _{i=1}^{n}f_{i}{\textbf {e}}^{i}=f_{i}{\textbf {e}}^{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a76f912c1cd443bfda53555b2132ef4107c235a0)
Infatti vale la relazione:
![{\displaystyle f({\textbf {v}})=\sum _{i=1}^{n}f_{i}{\textbf {e}}^{i}({\textbf {v}})=\sum _{i=1}^{n}f_{i}v^{i}=f_{i}v^{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88228f656debaf6f2204bf54023a242bf477993e)
Ogni applicazione
in
può essere quindi espressa in modo univoco come combinazione lineare delle applicazioni
, e pertanto:
è effettivamente una base di
, che ha quindi dimensione
; - le
sono le coordinate di
rispetto a tale base.
Dualità delle basi e degli spazi
Dualità delle basi
Le basi di
e
presentano la seguente simmetria:
- applicando
a un vettore
si ottiene la i-esima componente di
rispetto alla base
di
:
![{\displaystyle {\textbf {e}}^{i}({\textbf {v}})=v^{i};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cafbe7b00219f340253249cb39946dee7f48a083)
- applicando una applicazione
a
si ottiene la i-esima componente di
rispetto alla base
di
:
![{\displaystyle f({\textbf {e}}_{i})=f_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e38c8703b23e0393baae5aa8691d244654d87a8)
Le due relazioni esprimono una "dualità" delle due basi.
Dualità degli spazi
Un altro modo per esprimere questa dualità si ottiene considerando lo spazio duale di
, detto anche spazio biduale di
, che si indica con
ed è costituito dall'insieme di tutte le applicazioni lineari su
. Poiché
, come si è visto, è uno spazio vettoriale di dimensione
, anche
lo è.
Ora risulta cruciale osservare che ogni elemento di
resta "naturalmente" associato ad un vettore di
. Infatti, è possibile associare ad un vettore
di
l'applicazione
di
che agendo sull'applicazione
produce lo stesso scalare che produce
agendo su
:
![{\displaystyle F_{v}(f)=f({\bar {\textbf {v}}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8adf9f5bd80e4de6f3be458c3440349831f1fcfd)
L'applicazione da
in
definita da
![{\displaystyle {\textbf {v}}\mapsto F_{v}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/825e31c940849f50775dc4ad6b26ee28f9ca5daa)
è un isomorfismo canonico, che non dipende cioè dalla scelta delle basi. Gli spazi
e
sono quindi naturalmente identificati. Analogamente, gli spazi
e
sono naturalmente identificati.
Questa dualità fra spazi riflette quella fra le basi: la base duale di
è effettivamente
. Infatti:
![{\displaystyle F_{e_{i}}(f)=f({\textbf {e}}_{i})=f_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04639c2790b52a2ed8fc101bb46ad99c00b98868)
Applicazioni bilineari
La dualità può essere espressa in modo più evidente interpretando l'applicazione di un funzionale
ad un vettore
- che fino ad ora abbiamo scritto come
mettendo in evidenza che
è una applicazione da
a
- come una applicazione bilineare da
a
, definita nel modo seguente:
![{\displaystyle \langle ,\rangle :V^{*}\times V\to K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06cad079f110e9e08fe59d800dc8f30a233ff39d)
![{\displaystyle \langle f,{\textbf {v}}\rangle =f({\textbf {v}})=F_{v}(f).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1657d7fc5c2461200f4f52b45b0d22d583d87266)
L'applicazione bilineare associa ad ogni coppia di elementi di
e di
uno scalare. L'operazione
può essere intesa in duplice senso: come una applicazione
che agisce su un vettore
o come un vettore
(anzi,
) che agisce su una applicazione
.
Così facendo le dualità degli spazi e delle basi possono essere espresse in forma "simmetrica" e sintetica nel modo seguente:
![{\displaystyle \langle {\textbf {e}}^{i},{\textbf {v}}\rangle =v^{i},\qquad \langle f,{\textbf {e}}_{i}\rangle =f_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95aa183ab356d16303d1e90c3e8c0c86b6b598b2)
In particolare se tali relazioni si applicano agli elementi delle due basi, si ottiene la relazione originaria:
![{\displaystyle \langle {\textbf {e}}^{i},{\textbf {e}}_{j}\rangle =\delta _{ij}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ced8c02378a2ffb20d10238a2fa7e97e54292e61)
Identificazione di V e V*
In matematica, un isomorfismo è naturale se la sua costruzione è univoca, non dipende cioè da nessuna scelta. Come visto sopra, esiste un isomorfismo naturale fra
e
. Invece in generale non esiste un modo altrettanto naturale di associare gli elementi di
a quelli di
. Trattandosi di spazi aventi le stesse dimensioni, esiste (per il teorema della dimensione) un isomorfismo fra questi: tuttavia questo isomorfismo, per essere determinato concretamente, dovrà fare riferimento a qualche scelta determinante. La scelta può consistere nella costruzione di una base o di un prodotto scalare per
.
Isomorfismo tramite scelta di base
Un isomorfismo tra
e
può essere costruito a partire da una base
per
. Questa determina una base duale
, e l'isomorfismo fra
e
associa al vettore
avente componenti
l'applicazione
avente uguali componenti
rispetto a
.
Prendendo un'altra base di partenza, l'applicazione associata a
non è però più necessariamente la stessa
: in questo senso, l'isomorfismo non è naturale.
Isomorfismo tramite prodotto scalare
È possibile definire un isomorfismo tra
e
a partire da un prodotto scalare per
, cioè una particolare applicazione bilineare:
![{\displaystyle \langle ,\rangle \colon V\times V\to K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f103ac0777241eaf197005243875c85701b977f5)
![{\displaystyle \langle ,\rangle \colon ({\textbf {w}},{\textbf {v}})\to \langle {\textbf {w}},{\textbf {v}}\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41bb403796b2d4b0392fc4b0dddd312b8e56a40c)
Grazie a questo prodotto scalare è possibile associare ad un vettore
di
l'applicazione
tale che:
![{\displaystyle \langle f_{w},{\textbf {v}}\rangle =\langle {\textbf {w}},{\textbf {v}}\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6808eb0e9aae79d60bc310c0cfbeaed45e3556)
In questa relazione, l'applicazione bilineare di sinistra è quella naturale definita precedentemente, mentre quella di destra è il prodotto scalare su
. Qualora si identifichi
e
in questo modo, anche queste due applicazioni bilineari risultano essere identificate.
Anche in questo caso, l'isomorfismo non è naturale, perché dipende dalla scelta di un prodotto scalare per
.
Esempi
La base standard di
(il piano cartesiano) è:
![{\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\}=\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89718d9cdce09961560370621274a537ad6bd402)
mentre la base standard del suo duale
è:
![{\displaystyle \{\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2}\}=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e4f744db075fc38e4668ebec47b7bb565f362b)
In tre dimensioni, per una data base
si può trovare la base duale (o biortogonale)
con le formule:
![{\displaystyle \mathbf {e} ^{1}=\left({\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{V}}\right)^{T},\ \mathbf {e} ^{2}=\left({\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{V}}\right)^{T},\ \mathbf {e} ^{3}=\left({\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{V}}\right)^{T},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f9fd0f297635a489531d0db37b06f4ca77f0e38)
dove l'apice
indica la trasposta e
![{\displaystyle V=\det \left(\mathbf {e} _{1};\mathbf {e} _{2};\mathbf {e} _{3}\right)=\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})=\mathbf {e} _{2}\cdot (\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1})=\mathbf {e} _{3}\cdot (\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323e84e888abeb9b0ee12d1f2ed987b1a4140eb2)
è il volume orientato del parallelepipedo formato dai vettori
,
e
.
Bibliografia
- (EN) P.M. Cohn, Algebra, Wiley (1982)
- (EN) Lebedev, Leonid P.; Cloud, Michael J.; Eremeyev, Victor A. (2010). Tensor Analysis With Applications to Mechanics. World Scientific. ISBN 978-981431312-4
Voci correlate
Collegamenti esterni
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