In matematica, lo spazio duale o spazio duale algebrico di uno spazio vettoriale è un particolare spazio vettoriale che ricorre in molte applicazioni della matematica e della fisica essendo a fondamento della nozione di tensore.
Definizione
Sia
un
-spazio vettoriale. Lo spazio duale di
, indicato con
, è formato da tutti i funzionali lineari
![{\displaystyle f\colon V\to \mathbb {K} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd1aa957a9dfda1af0d11e012bb8487e08ac281c)
La somma fra due funzionali lineari
e
, e il prodotto fra
e uno scalare
sono definiti nel modo seguente: per ogni
si ha
![{\displaystyle (f+g)({\textbf {v}}):=f({\textbf {v}})+g({\textbf {v}});}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebc55d63df16ef7e87ba4a251cc8b29c750f4d57)
![{\displaystyle (\alpha f)({\textbf {v}}):=\alpha f({\textbf {v}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad075c079ae8cde3fbcdde5d01ffbd9417b42819)
Con queste operazioni, l'insieme
assume effettivamente la struttura algebrica di spazio vettoriale.[1] In simboli, si può scrivere:
![{\displaystyle V^{*}={\rm {Hom}}(V,\mathbb {K} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5abfe5ed079a91a8422b7915d27ea013cbddd832)
dove la notazione
indica, in generale, lo spazio vettoriale formato da tutte le applicazioni lineari fra due spazi vettoriali
e
.
Base duale
Lo stesso argomento in dettaglio: Base duale. Dimensione finita
Se
ha dimensione finita
, allora
ha la stessa dimensione di
.[2] Usando le matrici si dimostra infatti che
![{\displaystyle \dim {\rm {Hom}}(V,W)=\dim V\cdot \dim W.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d93a82f8d064dd773f0f1aa05174db4b4288d96d)
In questo caso si ottiene:
![{\displaystyle \dim V^{*}=\dim {\rm {Hom}}(V,\mathbb {K} )=n\cdot 1=n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64a123007738278f841facdac35ea48ed941bf5d)
Data una base di
, è possibile costruire una base duale di
nel modo seguente. Se
![{\displaystyle B=\{{\textbf {v}}_{1},\dots ,{\textbf {v}}_{n}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b4a76efb39d0d1b7e63f924f0d24706e043aa8a)
è una base per
, la base duale
![{\displaystyle B^{*}=\{{\textbf {v}}_{1}^{*},\dots ,{\textbf {v}}_{n}^{*}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e68da3c9c456791840892be08501401903b69df2)
è definita dalle relazioni:
![{\displaystyle {\textbf {v}}_{i}^{*}({\textbf {v}}_{j})={\begin{cases}1,&{\text{se }}i=j,\\0,&{\mbox{se }}i\neq j.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c3575197f457d2a2e9e0cb6b250521f841cb0cb)
In altre parole, il funzionale
è definito come l'unico funzionale che manda
in 1 e tutti gli altri elementi
della base in zero.
Quindi l'applicazione:
![{\displaystyle {\begin{matrix}\phi _{B}\colon V\longrightarrow V^{*}\\\qquad \qquad {\textbf {v}}_{i}\longmapsto \phi _{B}({\textbf {v}}_{i})={\textbf {v}}_{i}^{*}\end{matrix}}\qquad \forall i\in \{1,\dots ,n\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8366a4c2b6381b77cdd5c0a8c4bf3538ac40eac)
è un isomorfismo che però dipende dalla scelta della base, quindi non canonico.
Più concretamente, se
è lo spazio dei vettori colonna con
componenti, lo spazio duale
è lo spazio dei vettori riga con
componenti: ciascun vettore riga
può essere infatti interpretato come un funzionale che manda il vettore colonna
nello scalare
ottenuto moltiplicando
e
tramite la usuale moltiplicazione fra matrici. In questo caso, se
è la base canonica di
, allora
è semplicemente la trasposta di
.
Dimensione infinita
Se
ha dimensione infinita, la costruzione di
descritta sopra produce dei vettori indipendenti in
, ma non una base: questi vettori non sono sufficienti per generare tutti i funzionali lineari. Infatti
ha dimensione maggiore di
, nel senso che è infinita con cardinalità maggiore.
Ad esempio, lo spazio
delle successioni di numeri reali che hanno solo un numero finito di elementi non nulli ha dimensione numerabile. Lo spazio duale può essere identificato con lo spazio
di tutte le successioni di numeri reali, e ha dimensione più che numerabile (ha la stessa cardinalità di
). L'identificazione avviene nel modo seguente: una sequenza (
) di
è il funzionale che manda l'elemento (
) di
nello scalare
.
Spazio biduale
Sia
un
-spazio vettoriale. Allora
è definito in questo modo:
![{\displaystyle V^{**}:=(V^{*})^{*}=\operatorname {Hom} (V^{*},\mathbb {K} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f8468cb37794c947f4e63b18c6c946bbac00ef1)
e viene detto spazio biduale di
Quindi lo spazio biduale
di uno spazio vettoriale
è ottenuto prendendo il duale dello spazio
.
Se
ha dimensione finita, questo ha sempre la stessa dimensione di
.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{B^{*}}\colon V^{*}&\to V^{**},\\{\textbf {v}}_{i}^{*}&\mapsto \phi _{B^{*}}({\textbf {v}}_{i}^{*})={\textbf {v}}_{i}^{**},\end{aligned}}\qquad \forall i\in \{1,\dots ,n\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e090543e9342ff60f93c71107bf764f28362e88e)
è un isomorfismo (non canonico) da
in
.
A differenza di
, se
ha dimensione finita lo spazio
è canonicamente isomorfo a
, tramite un isomorfismo canonico
che non dipende da nessuna scelta della base, definito come segue:
![{\displaystyle (\Psi ({\textbf {v}}))(\phi )=\phi ({\textbf {v}}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8564fa80f17a3df65f33632d8c2e4333f2ef88c)
dove
e
.
Inoltre per ogni
base
.
Se
ha dimensione infinita, la mappa
è solamente iniettiva.
Annullatore
Sia
un
-spazio vettoriale, sia
l'isomorfismo canonico da
in
e sia
un elemento di
. Allora:
![{\displaystyle \operatorname {Ann} (v)=\operatorname {Ker} (\Psi (v))=\{f\in V^{*}|f(v)=0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb2891e300d8146559de4fe1135e932a820cf364)
e viene detto annullatore di
in
.
Se si estende questa definizione a un qualsiasi sottoinsieme
di
si ottiene:
![{\displaystyle \mathrm {Ann} (S)=\bigcap _{s\in S}\mathrm {Ann} (s)=\bigcap _{s\in S}\operatorname {Ker} (\Psi (s))=\{f\in V^{*}|f[S]=\{0\}\}=\{f\in V^{*}|f_{|S}=0\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae3816053010d7800892a13e05d7d14625f90566)
Proprietà
- Per ogni
si ha che
è un sottospazio vettoriale di ![{\displaystyle V^{*}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2951349c258f7b3cbd282c6578aea933aa76f9fd)
- Se
allora ![{\displaystyle \mathrm {Ann} (T)\subseteq \mathrm {Ann} (S).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da24eccad47b769933f96cdf96c34db642f1976f)
![{\displaystyle \mathrm {Ann} (S)=\mathrm {Ann} (\mathrm {Span} (S)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4157b7b41f04fdd028f246ee0c1db5e358e0c165)
- Se
è un sottospazio vettoriale di
e
allora ![{\displaystyle \dim \mathrm {Ann} (U)=n-k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aebda34ce43dc466a9d003345740b566fba7e85)
- Se
allora ![{\displaystyle \mathrm {Ann} (f)=\Psi (\operatorname {Ker} f).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e14ea71940118a26353ffb8b75cce25a0e245d81)
- Se
è un sottospazio vettoriale di
allora ![{\displaystyle \mathrm {Ann} (\mathrm {Ann} (U))=\Psi (U).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f3c712967bb01d5d476af866ba813b8dee0d54)
Trasposta di un'applicazione lineare
Se
è un'applicazione lineare fra spazi vettoriali, si definisce la sua trasposta
nel modo seguente:
![{\displaystyle (f^{T})(\phi )=\phi \circ f,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e238e99655bbd6f318515e454f9cd5b01b73696)
dove
è un funzionale in
.
In altre parole, si associa un funzionale su
ad uno su
tramite composizione con
. La funzione
è lineare e
a meno dell'identificazione
e
, ossia:
![{\displaystyle f=\Psi _{2}^{-1}\circ (f^{T})^{T}\circ \Psi _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa5199f6d8e83d3047a54aab0801568d29b73f10)
Inoltre
e
e se
è la matrice associata a
rispetto a due basi di
e
, allora la trasposta
è la matrice associata a
rispetto alle basi duali di
e
.
Nel linguaggio della teoria delle categorie, l'operazione che trasforma gli spazi vettoriali e i loro morfismi negli spazi vettoriali duali con i morfismi trasposti è un funtore controvariante dalla categoria degli spazi vettoriali su
in sé.
Per quanto detto sopra, se
ha dimensione finita gli spazi
e
sono isomorfi: l'isomorfismo tra i due spazi non è però canonico, nel senso che per definirlo è necessario fare una scelta, quella di una base per
. Scelte diverse danno isomorfismi diversi: ogni isomorfismo
da
in
definisce una forma bilineare non degenere su
nel modo seguente:
![{\displaystyle \langle {\textbf {v}},{\textbf {w}}\rangle =(\Phi ({\textbf {v}}))({\textbf {w}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cb4a432deefe4cbd8d11a087a9bd5d4e2fd4fc3)
e analogamente ogni forma bilineare non degenere definisce un isomorfismo tra
e
.
Spazio duale topologico
Se
è uno spazio vettoriale topologico, ed è quindi dotato di una topologia appropriata (ad esempio se è uno spazio di Hilbert o di Banach), si può generalizzare la precedente nozione introducendo lo spazio duale topologico, anche detto spazio duale continuo di
. Lo spazio duale topologico è molto utilizzato nell'analisi matematica, principalmente perché su di esso si possono definire interessanti strutture topologiche.
Definizione
Lo spazio duale topologico
dello spazio vettoriale topologico
è definito come lo spazio dei funzionali lineari e continui su
.[3] Se
ha dimensione finita, gli spazi duali algebrico
e topologico
coincidono, perché tutti i funzionali lineari sono continui. Questo non è vero in generale se
ha dimensione infinita. La definizione data si riduce a quella di spazio duale algebrico anche nel caso in cui si considera lo spazio vettoriale
equipaggiato con la topologia discreta, nella quale tutti i funzionali sono continui. Il duale continuo
di uno spazio normato (ad esempio uno spazio di Banach o di Hilbert) è uno spazio normato completo, ovvero spazio di Banach, e la norma
di un funzionale lineare continuo
su
è definita come:[3]
![{\displaystyle \|\phi \|=\sup\{|\phi (x)|:\|x\|\leq 1\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2c8e827a91eed52a2ada79a808c643dc565d4d1)
La continuità di
garantisce che
sia un numero finito.
è sempre uno spazio di Banach, anche se
non lo è. Analogamente, un prodotto scalare su
ne induce uno su
in modo tale che se il primo è di Hilbert lo sia anche il suo duale.
In uno spazio vettoriale topologico generico, tuttavia, per definire la nozione di limitatezza è necessario ricorrere, invece che a nozioni come la distanza o l'usuale norma, agli intorni dell'origine: dato uno spazio vettoriale topologico
su un campo
, un insieme
è detto limitato nella topologia
se e solo se per ogni intorno
dell'origine esiste un numero reale positivo
(dipendente da
) tale che
, ovvero
deve essere contenuto in un opportuno multiplo di ogni intorno dell'origine. In altri termini, un insieme è limitato se è un insieme assorbente per ogni intorno del vettore zero.
La caratterizzazione con una topologia dello spazio duale continuo
di uno spazio vettoriale topologico
, dunque, avviene grazie a una classe
di sottoinsiemi limitati di
in modo che la topologia è generata da una famiglia di seminorme della forma:
![{\displaystyle \|\varphi \|_{A}=\sup _{x\in A}|\varphi (x)|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce03661971f20fcbaa938a2e919650cbe3a30a8c)
dove
è un funzionale lineare continuo definito su
, e
spazia nella classe
. A questa topologia è associata la convergenza uniforme di funzionali definiti sugli insiemi di
:
![{\displaystyle \|\varphi _{i}-\varphi \|_{A}=\sup _{x\in A}|\varphi _{i}(x)-\varphi (x)|{\underset {i\to \infty }{\longrightarrow }}0,\qquad \forall A\in {\mathcal {A}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94cb0c577922dfe4451f77e5c4020cb60358224c)
Solitamente si suppone che la classe
soddisfi le seguenti condizioni:
- Ogni punto
di
appartiene a qualche insieme
. - Ogni coppia di insiemi
e
è contenuta in qualche insieme
. - La classe
è chiusa rispetto all'operazione di moltiplicazione per scalare.
Se queste condizioni sono soddisfatte allora la corrispondente topologia su
è di Hausdorff, e gli insiemi:
![{\displaystyle U_{A}=\{x\in V:||\varphi ||_{A}<1\},\qquad A\in {\mathcal {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7c662ddfdf015b9f329291dcf8bd027ff9ce3af)
costituiscono una sua base locale.
Esempi
Sia
un numero reale maggiore di 1. Lo spazio lp è l'insieme di tutte le successioni
tali che
![{\displaystyle \|\mathbf {a} \|_{p}=\left(\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{1/p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d285f096c37895a0479f884331c35f8f30806fc)
è finito. Sia
il numero per cui vale
. Allora il duale continuo di
è identificato in modo naturale con
nel modo seguente: dato un funzionale continuo
su
, l'elemento corrispondente in
è la successione
, dove
è la successione il cui
-esimo termine è 1 e tutti gli altri sono nulli. D'altra parte, dato un elemento
, il funzionale lineare continuo corrispondente
su
è definito come:
![{\displaystyle \phi (\mathbf {a} )=\sum _{n}a_{n}b_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f82827524ca08a11f4692d6ec12602322b5935)
per ogni
. L'identificazione fa uso della disuguaglianza di Hölder.
Si nota che
: anche in questo contesto lo spazio è isomorfo in modo naturale con il suo biduale. Questo non è però sempre vero in generale: il duale continuo di
è identificato in modo naturale con lo spazio
delle successioni limitate, ma il duale continuo di
è uno spazio "più grande" di
.
Biduali e spazi riflessivi
Il biduale topologico
è definito quindi come il duale topologico di
. Analogamente a quanto visto sopra, esiste una mappa canonica iniettiva, detta mappa di James:
![{\displaystyle \Psi \colon V\to V^{**}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c7e8ad978c429205f9262ae5f98e8e0cef2ee43)
A differenza di quanto visto sopra, questa mappa può essere suriettiva anche se
ha dimensione infinita: in questo caso lo spazio
si dice riflessivo[4]. In particolare, uno spazio localmente convesso è riflessivo se coincide con il duale continuo del suo duale continuo sia come spazio topologico che come spazio vettoriale.
Ogni spazio di Hilbert è riflessivo[5]. Anche gli spazi di Banach Lp per
sono riflessivi[6], ma
e
non lo sono.
Spazio preduale
Se la chiusura di uno spazio
è lo spazio duale di un altro spazio, allora
è detto spazio preduale o semplicemente preduale.[7]
Note
- ^ Lang, p. 167.
- ^ Lang, p. 169.
- ^ a b Brezis, p. 4.
- ^ Brezis, p. 66.
- ^ Brezis, p. 127.
- ^ Brezis, p. 92.
- ^ Preduale, in Dizionario delle scienze fisiche, Roma, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.
Bibliografia
- Haïm Brezis, Analisi funzionale - Teoria e applicazioni, Napoli, Liguori, 1990, ISBN 88-207-1501-5.
- Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
Voci correlate
Altri progetti
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Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Spazio duale, su MathWorld, Wolfram Research.
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