Algebra Heytinga
Algebra Heytinga – pewien typ struktury algebraicznej, rodzaj algebry ogólnej, uogólnienie pojęcia algebry Boole’a polegające na odrzuceniu z systemu aksjomatów prawa wyłączonego środka odrzuceniu prawa podwójnej negacji oraz na odrzuceniu pierwszego prawa de Morgana Ten typ algebr wprowadził Arend Heyting (1930) w celu zbudowania formalnego narzędzia dla logiki intuicjonistycznej, którą stworzyła holenderska szkoła logików inspirowana przez L.E.J. Brouwera. Jednakże sam Brouwer był przeciwny wszelkiej formalizacji jego idei intuicjonizmu, w szczególności używania takich narzędzi, jakie proponował jego uczeń Heyting. Zakwestionowanie prawa wyłączonego środka i prawa podwójnej negacji wynikało z ogólnych założeń filozoficznych Brouwera dotyczących tego, czym jest matematyka i jakiego typu rozumowania są w niej dopuszczalne[a].
Obecnie większość badań dotyczących algebr Heytinga nie jest związana z logiką i intuicjonizmem. Traktuje się je jako pewien typ struktur matematycznych, część algebry lub dział teorii kategorii. Rozmaite, równoważne podejścia do teorii algebr Heytinga mogą być sformułowane w ramach teorii częściowego porządku, algebry ogólnej (zwanej też algebrą uniwersalną), topologii ogólnej oraz w języku funktorów sprzężonych w pewnych specjalnych kategoriach. W teoriach tych rozumowania dotyczące algebr Heytinga są oparte na logice klasycznej (z prawem wyłączonego środka, nieintuicjonistycznej).
Definicje
Algebra Heytinga (zwana też algebrą pseudoboolowską[b][1]) zdefiniowana w języku częściowego porządku to krata dystrybutywna[c] mająca element najmniejszy 0, element największy 1, w której jest dodatkowo dane działanie dwuargumentowe implikacji spełniające następujący warunek[2]:
(H) nierówność jest równoważna nierówności
Tutaj symbol typu nie oznacza zdania (które mogłoby być prawdziwe lub fałszywe), lecz pewien element zbioru podobnie jak elementy i Symbol oznacza więc pewną funkcję z w Przy interpretowaniu napisów takich jak symbol można traktować jako koniunkcję, a symbol jako potocznie rozumiane: pociąga (przez analogię z relacją zawierania: ).
Negację (zwaną też pseudodopełnieniem) określa się wzorem:
Można też zdefiniować algebrę Heytinga jako kratę z elementami 0 i 1, spełniającą warunek: dla dowolnych istnieje element największy w zbiorze tych dla których ten największy element jest zwany relatywnym pseudopełnieniem elementu względem i jest oznaczany symbolem [d].
W języku algebr ogólnych algebra Heytinga jest strukturą z trzema działaniami dwuargumentowymi z w w której jest kratą dystrybutywną z elementami z uporządkowaniem zdefiniowanym w terminach pierwotnych przez warunek a działanie spełnia warunek (H). Ponadto dla dowolnych elementów nierówność zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy
Algebry Heytinga tworzą klasę algebr definiowalnych równościowo – ich system aksjomatów, w tym warunek (H), da się zapisać w postaci skończonej liczby aksjomatów mających postać równości[3].
Własności algebr Heytinga
W każdej algebrze Heytinga dla dowolnych oprócz warunku (H) spełnione są następujące warunki[1][4]:
Działanie dwuargumentowe spełnia następujące warunki:
W algebrach Heytinga prawdziwe jest tylko drugie prawo de Morgana w postaci równości pierwsze zaś prawo ma znacznie słabszą postać:
Algebra Heytinga jest algebrą Boole’a wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi w niej prawo podwójnej negacji a także wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi prawo wyłączonego środka
Każda algebra Boole’a (w szczególności każde ciało zbiorów) jest algebrą Heytinga z działaniem zdefiniowanym jako Jednakże równość nie jest na ogół spełniona w algebrach Heytinga, bowiem zawsze a może nie być równe 1.
Jeżeli jest kratą z największym elementem 1 i z uporządkowaniem całkowitym (zwanym również liniowym, tzn. jest zarazem łańcuchem, w którym każde dwa elementy są porównywalne), to staje się algebrą Heytinga, gdy określimy jako równe 1 w przypadku i jako w przypadku przeciwnym [4].
Algebra Heytinga zbiorów otwartych przestrzeni topologicznej
Osobny artykuł: Topologiczna algebra Heytinga.
Tak jak typowym przykładem algebry Boole’a jest ciało podzbiorów dowolnego ustalonego zbioru wraz z częściowym porządkiem wyznaczonym przez relację inkluzji i z działaniami na zbiorach jako operacjami algebraicznymi, tak typowym przykładem algebry Heytinga jest krata wszystkich podzbiorów otwartych przestrzeni topologicznej (oznaczanej w tej algebrze symbolem ) ze zwykłymi działaniami oraz z działaniami zdefiniowanymi jako[2]
- oraz dla
gdzie oznacza wnętrze zbioru a oznacza domknięcie zbioru To, że w takiej algebrze Heytinga może być różne od pokazuje następujący przykład. Niech oznacza płaszczyznę kartezjańską i niech oznacza koło otwarte bez środka. Wówczas dopełnieniem zbioru jest zbiór z dołączonym punktem izolowanym zatem skąd wynika, że
Każdy element algebry Heytinga spełnia warunek równość zaś zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy jest dziedziną otwartą (zbiór nazywa się dziedziną otwartą, gdy spełnia warunek [5]).
Algebra Heytinga jest algebrą Boole’a wtedy i tylko wtedy, gdy topologia jest dyskretna, tzn. jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru
Reprezentacja algebr Heytinga w topologicznych algebrach Boole’a
Osobny artykuł: Twierdzenie o reprezentacji algebr Heytinga.
Topologiczna algebra Boole’a to algebra Boole’a wraz z dodatkową strukturą operatora wnętrza określoną aksjomatycznie przez następujące warunki[1]:
dla Jest to uogólnienie operacji wnętrza w przestrzeni topologicznej[6][5]. Element nazywa się otwartym, jeżeli jego dopełnienie nazywa się domknięte, a operator domknięcia zdefiniowany jako spełnia warunki analogiczne do aksjomatów Kuratowskiego[6] przestrzeni topologicznej:
W topologicznych algebrach Boole’a prawdziwe są te wszystkie zdania o przestrzeniach topologicznych, które dadzą się wywieść z aksjomatów wnętrza bądź z aksjomatów domknięcia Kuratowskiego bez używania pojęcia elementu
Topologiczne algebry Boole’a można zaliczyć do szerszej dziedziny topologii bezpunktowej, do której należą różnorakie obiekty matematyczne, rozpatrywane w nieprzekładalnych wzajemnie bezpośrednio ujęciach różnych teorii[7][8].
Krata wszystkich elementów otwartych w topologicznej algebrze Boole’a jest algebrą Heytinga. Odwrotnie, prawdziwe jest następujące twierdzenie o reprezentacji McKinseya i Tarskiego: dla każdej algebry Heytinga istnieje topologiczna algebra Boole’a taka, że jest izomorficzna z algebrą [9][1].
Algebry Heytinga w teorii kategorii
Każda krata jest zbiorem częściowo uporządkowanym, może więc być traktowana jako kategoria. W tym ujęciu krata jest algebrą Heytinga, jeśli istnieje w niej obiekt początkowy 0, obiekt końcowy 1 i jest na niej określona struktura kategorii kartezjańsko zamkniętej, tzn. dla każdego funktor z w o przyporządkowaniu obiektowym jest lewym sprzężonym funktora o przyporządkowaniu obiektowym Warunek (H), tzn. równoważność nierówności i tłumaczy się bezpośrednio na warunek sprzężoności tych funktorów. Wymienione wyżej tożsamości i nierówności dla algebr Heytinga mogą być wyprowadzone z ogólnych własności funktorów sprzężonych[2][10].
Uwagi
- ↑ Wyjaśnienie głównych idei intuicjonizmu (będącego częścią szerszego nurtu zwanego konstruktywizmem) daje R. Murawski, Filozofia matematyki. Zarys dziejów, wyd. II, PWN, Warszawa 2001, s. 97–112. Krótszy, poglądowy i krytyczny opis znajduje się w książce: P.J. Davis, R. Hersh, Świat matematyki, PWN, Warszawa 1994, s. 283, 292–293, 321–326.
- ↑ W cytowanej książce Rasiowej i Sikorskiego rozważane są pojęcia pseudocomplement oraz Pseudo-Boolean algebra; to ostatnie jest równoważne algebrze Heytinga, w szczególności pojawia się tam warunek (H) na s. 58, istnienie elementów 0 i 1 oraz dystrybutywność.
- ↑ Krata nazywa się dystrybutywną (rozdzielną), gdy dla dowolnych jej elementów spełnione są następujące równości:
- ↑ Tę definicję implikacji można następująco interpretować w języku logiki: jest najsłabszym zdaniem, dla którego spełniony jest modus ponens:
Przypisy
- ↑ a b c d H. Rasiowa, R. Sikorski, The Mathematics of Metamathematics, Monografie Matematyczne, PWN, Warszawa 1963, s. 54–62, 93–95, 123–130.
- ↑ a b c Z. Semadeni, A. Wiweger, Wstęp do teorii kategorii i funktorów, wyd. 2, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, s. 183–184.
- ↑ Algebry definiowalne równościowo omawiane są w książkach: H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, Warszawa, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973, s. 274–289, oraz Z. Semadeni, A. Wiweger, Wstęp do teorii kategorii i funktorów, wyd. 2, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, s. 227–230.
- ↑ a b http://web.archive.org/web/20130519023435/http://boole.stanford.edu/cs353/handouts/book3.pdf
- ↑ a b R. Engelking, Topologia ogólna, PWN, Warszawa 1975, s. 26–27, 34–37.
- ↑ a b K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, wyd. VII, PWN, Warszawa 1977, rozdz. X, § 5, s. 110, 115.
- ↑ Więcej na ten temat znajduje się w Geometria nieprzemienna.
- ↑ Kategoryjne ujęcie zagadnienia znajduje się w książce: J. Picado, A. Pultr, Frames and Locales. Topology without points, Springer, Basel, 2012.
- ↑ J.C.C. McKinsey, A. Tarski, On closed elements in closure algebras, „Annals of Mathematics” 47 (1946), s. 122–162.
- ↑ Heyting algebra in nLab [online], ncatlab.org [dostęp 2020-09-03] (ang.).
Linki zewnętrzne
- RamonR. Jansana RamonR., Algebraic Propositional Logic, [w:] Stanford Encyclopedia of Philosophy, CSLI, Stanford University, 12 grudnia 2016, ISSN 1095-5054 [dostęp 2018-01-10] (ang.).
- Chapter 3. Algebras for Logic, [w:] Handouts – Autumn 2003-04 [online], 2003 [dostęp 2018-04-25] .
- autorzy nLab, Heyting algebra in nLab [online] [dostęp 2018-01-11] .
Pseudo-Boolean algebra (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-03-25].
- p
- d
- e
z jednym działaniem wewnętrznym – grupoidy (magmy) |
| ||||
---|---|---|---|---|---|
z dwoma działaniami wewnętrznymi |
| ||||
z działaniem wewnętrznym i zewnętrznym |
| ||||
z dwoma działaniami wewnętrznymi i zewnętrznym | |||||
inne |
|