Macierz Jacobiego – macierz zbudowana z pochodnych cząstkowych (pierwszego rzędu) funkcji, której składowymi są funkcje rzeczywiste.
Macierz Jacobiego i jej wyznacznik, nazywany jakobianem, znajdują zastosowanie w teorii funkcji uwikłanych, a także zagadnieniach związanych z zamianą zmiennych w całkach wielokrotnych, gdyż opisują one pochodną Frécheta funkcji wielu zmiennych (przestrzeni euklidesowych) w danym punkcie, o ile pochodna ta istnieje.
Nazwy tych pojęć pochodzą od nazwiska niemieckiego matematyka C.G.J. Jacobiego, który je wprowadził, choć niezależnie badał je Michaił Ostrogradski[potrzebny przypis]. Jacobi używał nazwy wyznacznik różniczkowy; termin „jakobian” pochodzi od J.J. Sylvestera (1852)[1].
Definicja macierzy Jacobiego
Założenia:
– podzbiór otwarty przestrzeni euklidesowej ![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7035fcb9fe3ebecc6bc9f372f82d0352202c8bf)
– funkcja wektorowa ze zbioru
w przestrzeń
mająca
funkcji składowych
ze zbioru
na zbiór liczb rzeczywistych,
o zmiennych ![{\displaystyle \mathrm {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})\in U.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70e5c8cc9360a598200f1169b1c06dcd06412f98)
Jeżeli funkcja
ma wszystkie pochodne cząstkowe w punkcie
to
(1) macierzą Jacobiego
nazywa się macierz, której elementami
są funkcje
tj. pochodne funkcji po poszczególnych zmiennych mającą postać
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\ldots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\ldots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64d925bbd533bb0c41cce25caea9ed1e222eeeb8)
tj.
Pierwszy wiersz tej macierzy stanowią pochodne pierwszej funkcji po poszczególnych zmiennych
itd.
(2) Macierz Jacobiego można przedstawić w postaci wektora kolumnowego, którego współrzędnymi są gradienty
funkcji
tworzących funkcję
tzn.
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}\nabla f_{1}\\\vdots \\\nabla f_{m}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e27d4bf8701bc2b285e61fb48d6372a2a46e0e2)
(3) Macierz Jacobiego można również przedstawić jako iloczyn tensorowy operatora nabla
i funkcji
zapisanej w postaci kolumny, tj.
![{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {f} }=\nabla \otimes f^{T},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78fb3bf01854dfec1894531522c8296f8a638ad8)
gdzie
– kolumna zawierająca składowe funkcji
(
oznacza transpozycję wektora).
Uwaga:
Wartością macierzy Jacobiego
funkcji
w punkcie
nazywa się macierz
której elementami są wartościami poszczególnych elementów macierzy Jacobiego, obliczone w punkcie
tj.
![{\displaystyle \left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathrm {x} )\right]_{i,j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae3082780bccc66352f68f8380db96015a58bfeb)
Definicja jakobianu
Definicja:
- Jakobianem nazywa się wyznacznik (kwadratowej) macierzy Jacobiego.
Jakobian oznacza się symbolami[2]:
Przykłady
Przykład 1: Jakobian 2 × 2
Dla funkcji
takiej że
![{\displaystyle f_{1}(x,y)=x^{2}+xy^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce45acfd3146c82e29925be3046fd320015760cc)
![{\displaystyle f_{2}(x,y)=xy+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbc36e81b5df3faae1acd59dcdef355435f6d4ab)
jakobian wynosi
![{\displaystyle {\begin{aligned}\det \mathbf {J} _{\mathrm {f} }&={\begin{vmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial (x^{2}+xy^{3})}{\partial x}}&{\frac {\partial (x^{2}+xy^{3})}{\partial y}}\\{\frac {\partial (xy+1)}{\partial x}}&{\frac {\partial (xy+1)}{\partial y}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2x+y^{3}&3xy^{2}\\y&x\end{vmatrix}}\\&=2x^{2}+xy^{3}-3xy^{3}=2x^{2}-2xy^{3}\end{aligned}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37b88d1f43b01c140f592989b35ebd95e7eff0b1)
Przykład 2: Jakobian nie istnieje
Dla funkcji
o 4 funkcjach składowych
tj.
![{\displaystyle y_{1}=x_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e6fb67c658ac3a9d148f08fbc88eebe5483b00f)
![{\displaystyle y_{2}=5x_{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/255a6a5bb0cc4182cee7ac05d9c522833683d6e9)
![{\displaystyle y_{3}=4x_{2}^{2}-2x_{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7766b2e2797dd065c389ab4c6a8d73c1a1d24b2a)
![{\displaystyle y_{4}=x_{3}\sin x_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d597feb45d3de959e60c43fc18d95a3123b4f30c)
a) macierz Jacobiego ma postać
![{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f41ae424c7bceebfbb02fa49024f5264f0ff618c)
Przykład ten pokazuje, że macierz Jacobiego nie musi być kwadratowa.
b) Jakobian nie istnieje, ponieważ macierz nie jest kwadratowa.
Przykład 3: Ujemny znak jakobianu
Dla funkcji o składowych
![{\displaystyle y_{1}=5x_{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5f969c1c59f33be6ffb2795c2fe9192266f18f4)
![{\displaystyle y_{2}=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bddc3baf3b3deda1b967cb267f8c4071b9298c8d)
![{\displaystyle y_{3}=x_{2}x_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e94c78c682bd0c45d4b11c864c0096d3591ba394)
jakobian ma wartość
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}{\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d29458d16a2c7106804089e2aebe0beba7f1f4d)
Gdy znak jakobianu jest ujemny, to funkcja
zmienia orientację (jest tak w otoczeniu punktów, które mają ten sam znak); funkcja jest lokalnie odwracalna dla punktów
Różniczkowy element powierzchni
Twierdzenie o całce po powierzchni
- Element powierzchni w starych współrzędnych = element powierzchni w nowych współrzędnych * moduł jakobianu przejścia od nowych do starych współrzędnych.
Transformacja ze współrzędnych biegunowych
do kartezjańskich
dana jest z pomocą funkcji
o 2 funkcjach składowych
![{\displaystyle f_{1}\equiv x=r\cos \varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3faa914e05d1061efd140ec771e3a4af330b7be4)
![{\displaystyle f_{2}\equiv y=r\sin \varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8556efbcc476a694fba9c0d3774ce6b189b7ff8d)
a) Macierz Jacobiego ma postać
![{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[0.5em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5f431e5f3e3fb3d4f2ed4b21118d512924a61b0)
b) Jakobian
![{\displaystyle |\mathbf {J} _{\mathbf {f} }|=r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a9c77e24df944ce93a7804bf3fd73df64825f82)
c) Różniczkowy element powierzchni
Jakobianu można użyć do zamiany zmiennych całkowania z układu kartezjańskiego na biegunowy, np.
![{\displaystyle \iint _{\mathrm {f} (A)}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{A}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\,r\,dr\,d\varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ee58e87fa74a309ac2fc7ae5d964981b2fe6ec5)
Różniczkowy element objętości
Twierdzenie o całce po objętości
- Element objętości w starych współrzędnych = element objętości w nowych współrzędnych * moduł jakobianu przejścia od nowych do starych współrzędnych.
Przejście ze współrzędnych sferycznych
na kartezjańskie
dane jest za pomocą funkcji
o 3 funkcjach składowych
![{\displaystyle x=r\sin \theta \cos \varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8b796e87b50481a71b3338a985a6b4d76836379)
![{\displaystyle y=r\sin \theta \sin \varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f687d20a8d83639b7823c6d90e7960a51f015)
![{\displaystyle z=r\cos \theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d601a3327c1c6c44dbaa4a946af8a6458b9dc67)
a) Macierz Jacobiego ma postać
![{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(r,\theta ,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial z}{\partial r}}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/147a423f1896efaaeba5db35b256bbdfd226b1f3)
b) Wyznacznik tej macierzy wynosi
![{\displaystyle |\mathbf {J} _{\mathbf {f} }|=r^{2}\sin \theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fb9603a39591890747e8b6da2eb27d22641dace)
Widać, że jakobian zmienia się w zależności od współrzędnych
c) Różniczkowy element objętości
W układzie kartezjańskim element różniczkowy objętości ma postać
![{\displaystyle dV=dx\,dy\,dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/118dcf11b5a7e0dc8dd39b8d5e24c2c863445189)
Przechodząc do układu współrzędnych sferycznych różniczkowy element objętości nie zmieni się, jeżeli pomnoży się go przez jakobian, tj.
![{\displaystyle dV=|\mathbf {J} _{\mathbf {f} }|dr\,d\varphi \,d\theta =r^{2}\sin \theta dr\,d\varphi \,d\theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb97d4afb052bf49df37e5fdc01e07a237034588)
Np. wykonując całkowanie funkcji
przy zamianie zmiennych na współrzędne sferyczne należy
- zmienne
wyrazić przez zmienne ![{\displaystyle r,\varphi ,\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/927d54b3ddc1110146eb8f28e7567e5243d31ddc)
- element objętości
wyrazić przez równy mu element ![{\displaystyle dV=r^{2}\sin \theta dr\,d\varphi \,d\theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/153ebc8ea725e0e9ffcb10e61e4570b381b5ccc6)
Związek macierzy Jacobiego z pochodną Frécheta
(1) Jeśli funkcja jest różniczkowalna w danym punkcie, to jej pochodna dana jest za pomocą macierzy Jacobiego. Dokładniej, jeżeli funkcja
jest różniczkowalna (w sensie Frécheta) w punkcie
to macierzą przekształcenia liniowego, którym jest jej pochodna Frécheta
jest macierz Jacobiego
funkcji
w punkcie
(2) Macierz Jacobiego jest kwadratowa, gdy pochodna jest endomorfizmem; jeśli jest odwracalna (jej wyznacznik jest odwracalny), to pochodna jest izomorfizmem. Więcej: niezdegenerowanie jakobianu gwarantuje, że funkcja jest różniczkowalna w sensie Frécheta w sposób ciągły (tzn. pochodna jest ciągła) – mówi się wtedy, że jest ona klasy
(3) Funkcja
nie musi być różniczkowalna (w sensie Frécheta) w punkcie
by macierz Jacobiego
była określona – wymaga się jedynie istnienia pochodnych cząstkowych funkcji
w punkcie
Oznacza to, że funkcja
jest różniczkowalna co najwyżej w dowolnym kierunku, tzn. w sensie Gâteaux, czyli dla dowolnego
istnieją pochodne
(4) Gradient, jak i macierz Jacobiego można traktować jak „pierwsze pochodne” funkcji:
- macierz Jacobiego jest pierwszą pochodną funkcji wektorowej wielu zmiennych,
- gradient jest pochodną funkcji skalarnej wielu zmiennych (gradient można uważać za szczególny przypadek macierzy Jacobiego).
(5) Macierz Jacobiego gradientu nazywana jest macierzą Hessego (hesjan) – jest to w pewnym sensie „druga pochodna” funkcji skalarnej wielu zmiennych.
Macierz Jacobiego jako macierz przekształcenia liniowego
Macierz Jacobiego ma wszystkie własności macierzy przekształceń liniowych. W szczególności dla funkcji różniczkowalnej w sensie Frécheta za pomocą macierzy Jacobiego można wyrazić takie własności jak twierdzenie o funkcji odwrotnej, czy twierdzenie o funkcji uwikłanej.
Zobacz też
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne
- Change of Variables and the Jacobian, [w:] Serpentine Integral [online], YouTube, 23 sierpnia 2021 (ang.).
Jacobian (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].