Pochodna Frécheta – uogólnienie pojęcia pochodnej dla funkcji między przestrzeniami unormowanymi (w szczególności między przestrzeniami Banacha) nad tym samym ciałem. Pojęcie pochodnej w sensie Frécheta pozwala formalnie zdefiniować pojęcie pochodnej funkcjonalnej, które jest szeroko wykorzystywane w rachunku wariacyjnym. Intuicyjnie, definicja pochodnej Frécheta oparta jest na idei aproksymacji liniowej, to znaczy przybliżania różniczkowanej funkcji przy pomocy prostszego przekształcenia liniowego. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka Maurice’a Frécheta.
W analizie funkcjonalnej spotyka się również inną nazwę tego pojęcia – silna pochodna – będącej antonimem innej nazwy pochodnej Gâteaux, tzw. słabej pochodnej.
Definicja
Niech
i
będą przestrzeniami unormowanymi,
będzie niepustym podzbiorem otwartym przestrzeni
Funkcję
nazywa się różniczkowalną w sensie Frécheta w punkcie
jeżeli istnieje taki ograniczony operator liniowy
![{\displaystyle \operatorname {A} _{x}\colon V\to W,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/131d5b4b8699ca06fb0923b78826fb8c0864ac32)
że
![{\displaystyle \lim _{\|h\|\to 0}{\frac {{\big \|}f(x+h)-f(x)-\operatorname {A} _{x}(h){\big \|}_{W}}{\|h\|_{V}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcf9409bedd8d3952c03732a2e05a47a8e4de4cd)
W przypadku, gdy funkcja
jest różniczkowalna w danym punkcie, to operator liniowy
spełniający powyższy warunek jest wyznaczony jednoznacznie nazywa się różniczką Frécheta funkcji
w punkcie
i oznacza
Odwzorowanie
dane wzorem
we wszystkich punktach
w których
jest różniczkowalna, nazywa się pochodną Frécheta funkcji
gdzie
oznacza przestrzeń funkcyjną wszystkich ograniczonych operatorów liniowych
Równoważnie, funkcja
jest różniczkowalna w punkcie
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ograniczony operator liniowy
oraz funkcja
dla których
![{\displaystyle f(x+h)-f(x)=\operatorname {A} _{x}(h)+r_{f}(x,h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a9347db7532203fccb3c3eea8c7fffb57c64b2d)
oraz
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {r_{f}(x,h)}{\|h\|_{V}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9827446946042b5bd08281cd273a06a40200f2d2)
Funkcję
różniczkowalną w sensie Frécheta w dowolnym punkcie zbioru
i której pochodna
jest funkcją ciągłą w każdym punkcie zbioru
nazywa się funkcją różniczkowalną w sposób ciągły bądź funkcją klasy
Jeśli
jest funkcjonałem, to różniczkę
będącą funkcjonałem liniowym nazywa się czasem wariacją
w punkcie
i oznacza symbolem
Otwartość dziedziny a różniczkowalność
Założenie otwartości zbioru
w definicji jest konieczne ze względu na wymaganie jednoznaczności definicji różniczki. Istotność tego założenia można zobrazować następująco: zbiór
![{\displaystyle V={\big \{}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x=y\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c617cf1af25dc4861ffc5dc9eb851a64c0e54218)
jest domkniętym podzbiorem przestrzeni
Gdyby funkcja
określona na płaszczyźnie, dana wzorem
![{\displaystyle f(x,y)=x+y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b56416bef45cdf8f146d331dbea5872fa1ed4acb)
była różniczkowalna w punkcie
to wówczas
![{\displaystyle f(x+h,y+k)-f(x,y)\approx {\tfrac {\partial f}{\partial x}}h+{\tfrac {\partial f}{\partial y}}k=h+k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91f15b7e583c2329b1207be6e93112f4772bc22b)
Punkty
i
należą do zbioru
tylko, gdy
co pociąga za sobą, iż pochodna
w punkcie
jest w postaci
gdzie
jest dowolną liczbą rzeczywistą.
Własności
Funkcja różniczkowalna w danym punkcie jest w nim ciągła. Implikacja odwrotna na ogół nie zachodzi.
Różniczkowanie jest operacją liniową w następującym sensie: jeśli
i
są dwoma przekształceniami
różniczkowalnymi w
zaś
i
są skalarami (dwiema liczbami rzeczywistymi bądź zespolonymi), to ich kombinacja liniowa
jest różniczkowalna w
przy czym jest ona równa odpowiedniej kombinacji liniowej pochodnych:
![{\displaystyle \operatorname {D} (\sigma f+\tau g)(x)=\sigma \operatorname {D} f(x)+\tau \operatorname {D} g(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8cee450b26fe9b2594c93de8576cc8b952dc42e)
W kontekście tym poprawna jest również reguła łańcuchowa zwana również twierdzeniem o różniczkowaniu złożenia funkcji: jeśli
jest różniczkowalna w
należącym do
zaś
jest różniczkowalna w
to złożenie
jest różniczkowalne w
a jego pochodna jest złożeniem pochodnych:
![{\displaystyle \operatorname {D} (g\circ f)(x)=\operatorname {D} g{\big (}f(x){\big )}\circ \operatorname {D} f(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12673e1653ce56ee42423f4ad5b0139bcd1b9a1f)
Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcjonału
w punkcie
jest
Otóż skoro
dla
to
dla dostatecznie małych
jest określony przez znak
Gdyby
to z liniowości
wynika, że dla małych
znak
może być zarówno dodatni, jak i ujemny, tzn. w sąsiedztwie
istnieją zarówno wartości mniejsze, jak i większe od
a więc
nie może osiągnąć ekstremum w tym punkcie.
Przestrzenie skończeniewymiarowe
- Przypadek jednowymiarowy
Pojęcie pochodnej Frécheta jest uogólnieniem zwykłej pochodnej funkcji rzeczywistej. Ciągłe przekształcenia liniowe
są postaci
gdzie
jest liczbą rzeczywistą. W tym przypadku różniczka
pojawiająca się w definicji jest funkcją postaci
![{\displaystyle h\mapsto f'(x)h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7934ae3a5da15b387b7aa88f967e9e10639d0652)
Wyrażenie
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {{\big |}f(x+h)-f(x)-ah{\big |}}{|h|}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c7da525b57e04a6bead5cbba6aa8d0eebed6199)
jest równoważne definicji różniczkowalności funkcji
tj.
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c55ea582295d5f880a27b7fdf1c1f95e67586d05)
gdzie
jest pochodną funkcji
w punkcie
- Przypadek wielowymiarowy
W przestrzeniach skończenie wymiarowych wszystkie przekształcenia liniowe są ciągłe (zob. przekształcenie liniowe nieciągłe), więc pochodna Frécheta pokrywa się w tym przypadku z tradycyjnym pojęciem pochodnej funkcji wielu zmiennych. W szczególności, może być ona reprezentowana za pomocą macierzy Jacobiego.
Niech
będzie funkcją określoną na otwartym podzbiorze
przestrzeni
Jeśli
jest różniczkowalna w sensie Frécheta w punkcie
to jej pochodną jest przekształcenie
![{\displaystyle \operatorname {D} \mathrm {f} (\mathrm {a} )\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47a1643d563a039b4f3be64760b98baecb2921b3)
gdzie:
![{\displaystyle \operatorname {D} \mathrm {f} (\mathrm {a} )(\mathbf {v} )=\mathbf {J} _{\mathrm {f} }(\mathrm {a} )\;\mathbf {v} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/187b3f63bd366b4ed5dfd0bb1182f60ee7bf0607)
przy czym
oznacza macierz Jacobiego funkcji
w punkcie
Co więcej, pochodne cząstkowe
dane są wzorem
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {f} }{\partial x_{i}}}(\mathrm {a} ):={\frac {\partial \mathrm {f} }{\partial \mathbf {e} _{i}}}(\mathrm {a} )=\operatorname {D} \mathrm {f} (\mathrm {a} )(\mathbf {e} _{i})=\mathbf {J} _{\mathrm {f} }(\mathrm {a} )\;\mathbf {e} _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76f740dd48a8039b44293b0cd2f4455c2265845e)
gdzie
oznacza bazę kanoniczną
zaś
Pochodna jest przekształceniem liniowym, więc dla wszystkich wektorów
pochodna kierunkowa
w kierunku
wyraża się wzorem
![{\displaystyle \operatorname {D} \mathrm {f} (\mathrm {a} )(\mathbf {h} )=\sum _{i=1}^{n}h_{i}{\frac {\partial \mathrm {f} }{\partial x_{i}}}(\mathrm {a} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11fa7633a7c6afac9c8218030c85aab3ff553c37)
Związek ten jest ogólniejszej natury – zob. związek z pochodną Gâteaux.
Zachodzi również twierdzenie Schwarza mówiące, że jeśli wszystkie pochodne cząstkowe
istnieją i są ciągłe, to
jest różniczkowalna w sensie Frécheta. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe: funkcja może być różniczkowalna w sensie Frécheta, jednak jej pochodne cząstkowe mogą nie być ciągłe.
Przykład zastosowania
Metody rachunku różniczkowego umożliwiają dość sprawne wyznaczanie przybliżonych wartości skomplikowanych wyrażeń. Niech za przykład posłuży
![{\displaystyle w={\frac {(2{,}03)^{4}}{(3{,}998)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d67ba4422cb1b670aa04710d8447a74b7856b268)
Mając funkcję
daną wzorem
![{\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{4}}{y^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e9d62b019cfc52994f87f17100efecf5f4a2adc)
wystarczy zauważyć, iż zgodnie z powyższymi uwagami prawdziwy jest wzór
![{\displaystyle f(x+h,y+k)\approx f(x,y)+{\tfrac {\partial f}{\partial x}}(x,y)\cdot h+{\tfrac {\partial f}{\partial y}}(x,y)\cdot k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49ddf21622ea1fb6d79ed3a5333d43fa01363d61)
Podstawiając
oraz
uzyskuje się
oraz ![{\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=-2{\tfrac {x^{4}}{y^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e808de286227a99408d7f577a95504dc8a83c88)
Co ostatecznie daje
![{\displaystyle {\begin{aligned}w&\approx f(2,4)+{\tfrac {\partial f}{\partial x}}(2,4)\cdot 0{,}03+{\tfrac {\partial f}{\partial y}}(2,4)\cdot (-0{,}002)\\&=1+2\cdot 0{,}03+(-{\tfrac {1}{2}})\cdot (-0{,}002)\\&=1+0{,}06+0{,}001=1{,}061.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cbdc6e4a34be3dc6cf2787626047d4480104b0d)
Związek z pochodną Gâteaux
Jeśli
jest różniczkowalna w sensie Frécheta w punkcie
to jest ona w nim również różniczkowalna w sensie Gâteaux, a
jest po prostu operatorem liniowym
Nie każda funkcja różniczkowalna w sensie Gâteaux jest różniczkowalna w sensie Frécheta. Przykładowo funkcja
o wartościach rzeczywistych określona wzorem
![{\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {x^{3}}{x^{2}+y^{2}}},&{\mbox{ gdy }}(x,y)\neq (0,0),\\0,&{\mbox{ gdy }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0a5981cd69b766489ed7c6fa08df0ccc7e691ff)
jest ciągła i różniczkowalna w sensie Gâteaux w punkcie
przy czym jej pochodną jest
![{\displaystyle g(a,b)={\begin{cases}{\frac {a^{3}}{a^{2}+b^{2}}},&{\mbox{ gdy }}(a,b)\neq (0,0),\\0,&{\mbox{ gdy }}(a,b)=(0,0).\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ef8cb564bda047c8de49615ec145de7b8e8099d)
Funkcja
nie jest operatorem liniowym, zatem funkcja
nie jest różniczkowalna w sensie Frécheta.
Innym przykładem może być funkcja
dana wzorem
![{\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {x^{3}y}{x^{6}+y^{2}}},&{\mbox{ gdy }}(x,y)\neq (0,0),\\0,&{\mbox{ gdy }}(x,y)=(0,0),\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30db62bb8ef57ee2488c6d1c3d1d777bb4609937)
która jest różniczkowalna w sensie Gâteaux w punkcie
a jej pochodna
dla wszystkich
jest operatorem liniowym. Mimo to
nie jest ciągła w
co można zaobserwować, zbiegając do początku układu wzdłuż krzywej
i dlatego
nie może być tam różniczkowalna w sensie Frécheta.
Subtelniejszym przykładem jest
![{\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}},&{\mbox{ gdy }}(x,y)\neq (0,0),\\0,&{\mbox{ gdy }}(x,y)=(0,0),\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61331358245b470e62a85bd534422c41ba7dc2cb)
która jest funkcją ciągłą, różniczkowalną w
przy czym jej pochodną jest
co raz jeszcze oznacza, że jest liniowa. Jednakże
nie jest różniczkowalna w sensie Frécheta, ponieważ granica
![{\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}\left|{\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aea64cc8ad98e267f53f40b39cc0bf1d06f6e3e4)
nie istnieje.
Poniższy przykład zachodzi tylko w nieskończenie wielu wymiarach. Niech
będzie przestrzenią Banacha, a
będzie funkcjonałem liniowym na
który jest nieciągły w
(zob. przekształcenie liniowe nieciągłe). Niech
![{\displaystyle f(x)=\|x\|\varphi (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/746e4980bf7b22746dfd4da0a1f31cdc22f6dc25)
Wówczas
jest różniczkowalna w sensie Gâteaux w
a jej pochodna jest równa
Mimo to
nie jest różniczkowalna w sensie Frécheta, ponieważ granica
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}\varphi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c4651e52e4f2bdac10cfc1025b7f69c193cbaa6)
nie istnieje.
Jeśli
jest różniczkowalna w sensie Gâteaux na zbiorze otwartym
to
jest różniczkowalna w sensie Frécheta, gdy jej pochodna Gâteaux jest liniowa i ograniczona w każdym punkcie
oraz jest przekształceniem ciągłym
Pochodne wyższego rzędu
Jeśli
jest funkcją różniczkowalną w każdym punkcie podzbioru otwartego
zbioru
to jej pochodna
![{\displaystyle \operatorname {D} f\colon U\to \operatorname {L} (V,W)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a2a93244f46410145e5f09425dab4d3521f3e5a)
jest funkcją
o wartościach w przestrzeni
tzn. w przestrzeni wszystkich ograniczonych operatorów liniowych z
do
Funkcja ta również może mieć pochodną, nazywaną pochodną drugiego rzędu z funkcji
i oznaczaną przez
która, z definicji pochodnej, będzie przekształceniem
![{\displaystyle \operatorname {D} ^{2}f\colon U\to \operatorname {L} {\big (}V,\operatorname {L} (V,W){\big )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8efe3315a18b1d8e66c0f09d3d0d5db3711236e3)
Często dokonuje się utożsamienia zbioru wartości funkcji
z przestrzenią
tzn. przestrzenią wszystkich ciągłych przekształceń dwuliniowych z
w
Dokładniej, element
przestrzeni
utożsamia się takim elementem
należącym do
że dla dowolnych
i
należących do
spełniony jest warunek
![{\displaystyle \varphi (x)(y)=\psi (x,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7a119109f23136d4c7dbb4749c95b0a5f4ca84c)
Intuicyjnie funkcja
liniowa względem
i
liniowa względem
jest tym samym, co funkcja dwuliniowa
względem
oraz
Jeżeli funkcja
![{\displaystyle \operatorname {D} ^{2}f\colon U\to \operatorname {L} ^{2}(V\times V,W)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb81bab292898bf6a207c6322aa0ae5aceae35fd)
jest różniczkowalna, to jej pochodną nazywa się pochodną trzeciego rzędu funkcji f. Pochodna ta jest oczywiście przekształceniem trójliniowym itd. Pochodną
-tego rzędu (o ile istnieje) jest funkcja
![{\displaystyle \operatorname {D} ^{n}f\colon U\to \operatorname {L} ^{n}(V\times V\times \ldots \times V,W)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d52dc11e42e5965d7e079d43f0826d0bf403469e)
przyjmująca wartości w przestrzeni Banacha ciągłych przekształceń n-liniowych określonych w
i o wartościach w
Indukcyjnie, funkcja
jest
razy różniczkowalna na
jeśli jest
-krotnie różniczkowalna w zbiorze
oraz dla każdego
z
istnieje takie ciągłe przekształcenie (n+1)-liniowe
że istnieje granica
![{\displaystyle \lim _{h_{n+1}\to 0}{\frac {{\big \|}\operatorname {D} ^{n}f(x+h_{n+1})(h_{1},h_{2},\dots ,h_{n})-\operatorname {D} ^{n}f(x)(h_{1},h_{2},\dots ,h_{n})-\operatorname {A} (h_{1},h_{2},\dots ,h_{n},h_{n+1}){\big \|}}{\|h_{n+1}\|}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b54606e05d0a8fa18da3f3411a9e49b2aeaaa8f3)
oraz zbieżność ta jest jednostajna względem
na ograniczonych podzbiorach
Operator
nazywany jest wówczas pochodną (n+1)-rzędu funkcji
w punkcie
Zobacz też
Bibliografia
- Henri Cartan: Calcul différentiel. Paryż: Hermann, 1967. MR0223194. Brak numerów stron w książce
- Jean Dieudonné: Foundations of modern analysis. Boston, MA: Academic Press, 1969. MR0349288. Brak numerów stron w książce
- James R. Munkres: Analysis on manifolds. Addison-Wesley, 1991. MR1079066. ISBN 978-0-201-51035-5. Brak numerów stron w książce
- Emma Previato: Dictionary of applied math for engineers and scientists. Londyn: CRC Press, 2003, seria: Comprehensive Dictionary of Mathematics. MR1966695. ISBN 978-1-58488-053-0. Brak numerów stron w książce
Linki zewnętrzne
- B.A. Frigyik, S. Srivastava, M.R. Gupta, Introduction to Functional Derivatives, UWEE Tech Report 2008-0001.