Wypukłość funkcji
Wypukłość i wklęsłość funkcji – własności funkcji mówiące o położeniu jej wykresu względem stycznej do niego w danym punkcie. Jeśli wykres znajduje się
- nad styczną – mówimy, że jest wypukła,
- pod styczną – mówimy, że jest wklęsła.
Definicja
Wypukłość
Funkcję rzeczywistą określoną na zbiorze wypukłym nazywamy wypukłą, jeżeli
Jeśli jest przedziałem, to geometryczny sens powyższej nierówności jest następujący: łuk wykresu funkcji łączący dowolne dwa punkty tego wykresu leży poniżej lub na cięciwie [1].
Wklęsłość
Funkcję nazywamy wklęsłą w tym przedziale, jeżeli w powyższej definicji słowo poniżej zastąpimy przez powyżej, czyli innymi słowy zmienimy zwrot nierówności. Jeszcze inaczej: funkcja jest wklęsła, jeśli funkcja jest wypukła.
Terminologia
Niewielka liczba autorów nazywa funkcje wypukłe w sensie powyższej definicji wklęsłymi i na odwrót; spotyka się też określenia wypukła w dół i wypukła w górę na funkcje wypukłą i wklęsłą odpowiednio.
Zastępując nierówności w definicji wypukłości (wklęsłości) przez nierówności ostre definiujemy funkcje ściśle wypukłe (ściśle wklęsłe)
Własności
Można pokazać, że funkcja wypukła – a zatem i wklęsła – na zbiorze otwartym jest ciągła[potrzebny przypis]. Założenie to jest istotne.
Funkcja wypukła jest kresem górnym rodziny funkcji liniowych mniejszych bądź równych od niej (punktowo).
Kryterium wypukłości funkcji ciągłych
Jeśli funkcja jest funkcją ciągłą określoną na przedziale spełnia warunek
to funkcja jest wypukła na tym przedziale. Prawdziwa jest również implikacja odwrotna[potrzebny przypis].
Funkcja różniczkowalna
Jeśli funkcja jest funkcją różniczkowalną określoną na przedziale otwartym, można podać równoważne definicje opierające się na pojęciu stycznej.
Wypukłość
Funkcja jest wypukła w przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji leży ponad wykresem stycznej dla każdego punktu z przedziału W przypadku funkcji różniczkowalnej zapisuje się to wzorem
Równanie stycznej do krzywej w punkcie ma postać:
Jeśli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna na to aby była ona wypukła (wklęsła ku dołowi) w przedziale wystarczy żeby jej druga pochodna w tym przedziale była nieujemna:
Wklęsłość
Funkcja jest wklęsła w przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji leży pod wykresem stycznej dla każdego punktu z przedziału W przypadku funkcji różniczkowalnej zapisuje się to wzorem:
Jeśli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna na to aby była ona wklęsła (wypukła ku górze) (w przedziale ), wystarczy żeby druga pochodna w tym przedziale była niedodatnia[2]:
Punkt przegięcia
Główny artykuł: Punkt przegięcia.
Jeżeli z jednej strony punktu funkcja jest wypukła zaś z drugiej wklęsła, to nazywamy punktem przegięcia krzywej.
O ile druga pochodna w punkcie istnieje, warunkiem koniecznym na to aby punkt był punktem przegięcia funkcji jest:
Nie jest to jednak warunek wystarczający, gdyż w punkcie musi nastąpić zmiana znaku drugiej pochodnej.
- Przykład
Rozważmy funkcję rzeczywistą Jej druga pochodna zeruje się jedynie w punkcie W tym punkcie nie następuje jednak zmiana znaku drugiej pochodnej co oznacza, że funkcja nie ma punktów przegięcia. Ponadto druga pochodna jest nieujemna w całej dziedzinie, więc funkcja jest funkcją wypukłą w całej dziedzinie.
Zobacz też
Przypisy
- p
- d
- e
pojęcia ogólne | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
pochodne funkcji | |||||||
typy funkcji definiowane pochodnymi |
| ||||||
punkty w dziedzinie definiowane pochodnymi |
| ||||||
analiza wielowymiarowa | |||||||
twierdzenia o funkcjach |
| ||||||
badacze według daty narodzin |
| ||||||
inne wątki historyczne |
- Universalis: convexite-fonctions-convexes
- Catalana: 0153282