Funkcja harmoniczna
Funkcja harmoniczna – funkcja rzeczywista zmiennych , której wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu są ciągłe w każdym punkcie, spełniająca równanie różniczkowe Laplace’a[1]:
lub, w zapisie symbolicznym
gdzie jest operatorem Laplace’a.
Poniżej piszemy gdy oraz oznaczamy kulę środku i promieniu a sferę o środku x i promieniu r. Miarę zbioru oznaczamy przez
Etymologia terminu „harmoniczny”
Termin „harmoniczny” w nazwie funkcja harmoniczna pochodzi opisu ruchu punktu na napiętej strunie - ruch ten jest ruchem harmonicznym (a rozwiązanie równania różniczkowego dla tego ruchu można zapisać w postaci sinusów i cosinusów, czyli funkcji określanych jako harmoniczne). Dalszy rozwój w postaci analizy Fouriera polegał na rozszerzeniu funkcji zdefiniowanych dla ruchu na okręgu jednostkowym na szeregi tych harmonicznych, określone na dowolnym podzbiorze zbioru liczb rzeczywistych. Zaś biorąc pod uwagę wyżej wymiarowe analogie harmonicznych na jednostce n-sfery, dochodzi się do harmonicznych sferycznych. Funkcje te spełniają równanie Laplace'a i z biegiem czasu termin „harmoniczna” był używany w odniesieniu do wszystkich funkcji spełniających równanie Laplace'a.
Funkcje sub- i superharmoniczne
Funkcję nazywamy subharmoniczną, gdy oraz superharmoniczną, gdy
Własność wartości średniej
Niech oraz harmoniczna w Wówczas:
Zatem w każdym punkcie wartość funkcji jest równa średniej wartości po sferze (lub kuli) o środku w tym punkcie i dowolnym promieniu, takim że sfera (kula) leży całkowicie w obszarze harmoniczności funkcji.
Dla funkcji sub- i superharmonicznych istnieją analogiczne własności wartości średniej. Dla funkcji subharmonicznych:
Zasada maksimum dla funkcji subharmonicznych
Niech będzie otwarty, ograniczony i spójny, oraz u subharmoniczna w Przypuśćmy, że funkcja u przyjmuje supremum w punkcie tj. Wówczas dla każdego
Zatem funkcja subharmoniczna musi przyjmować maksima na brzegu Analogiczna zasada, lecz z przeciwnym znakiem, istnieje dla funkcji superharmonicznych – nie mogą one przyjmować infimum wewnątrz obszaru
Alternatywna definicja funkcji subharmonicznej
Funkcję nazywamy subharmoniczną, gdy dla każdej kuli i każdej funkcji harmonicznej ciągłej na i takiej, że spełnione jest na całej kuli
Zauważmy, że ta definicja nie używa pojęcia pochodnej. Można jednak pokazać, że dla funkcji klasy obie definicje są równoważne.
Przykłady
Rozpatrzmy tzw. rozwiązanie podstawowe laplasjanu:
gdzie oznacza wymiar przestrzeni. Dla mamy
Zobacz też
- nierówność Harnacka
- równanie Poissona
- twierdzenie Harnacka
Przypisy
- ↑ funkcja harmoniczna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-06] .
Bibliografia
- Lawrence C. Evans, Równania różniczkowe cząstkowe, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002, Warszawa.
- Walter Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1986, Łódź.
- p
- d
- e
pojęcia ogólne |
| ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
pochodne funkcji |
| ||||||
typy funkcji definiowane pochodnymi | |||||||
punkty w dziedzinie definiowane pochodnymi |
| ||||||
analiza wielowymiarowa |
| ||||||
twierdzenia o funkcjach |
| ||||||
badacze według daty narodzin |
| ||||||
inne wątki historyczne |
- Britannica: topic/harmonic-function
- SNL: harmonisk_funksjon