Ożywienie kwantowe funkcji falowej

Ożywienie kwantowe funkcji falowej lub ożywienie kwantowe (ang. quantum revival of the wave function lub quantum revival) – w mechanice kwantowej^[1] periodyczne w czasie powtarzanie się funkcji falowej z jej stanu początkowego podczas ewolucji czasowej albo wiele razy w przestrzeni jako wielokrotnie symetrycznie występujące i przeskalowane części w kształcie funkcji początkowej (ożywienie ułamkowe) lub dokładnie albo w przybliżeniu do jej wartości na początku ewolucji czasowej (ożywienie pełne).

Zjawisko ożywień jest najłatwiej obserwowalne dla funkcji falowych będących dobrze zlokalizowanymi paczkami falowymi na początku ewolucji czasowej, np. w atomie wodoru. Dla wodoru ożywienia ułamkowe ujawnia się jako wielokrotne gaussowskie garby prawdopodobieństwa zlokalizowane na kole otaczającym proton wyglądające jak oryginalna funkcja Gaussa, ale w zmniejszeniu^[2]. Pełne ożywienie jest dokładne dla nieskończonej studni potencjału, kwantowego oscylatora harmonicznego oraz dla atomu wodoru w przypadku funkcji o skończonym rozwinięciu, podczas gdy dla krótszych czasów jest przybliżone dla atomu wodoru i wielu innych układów kwantowomechanicznych.

Ożywienie kwantowe zostało zaobserwowane doświadczalnie dla kondensatu Bosego-Einsteina w potencjale sieci optycznej^[3][4].

Przykład – dowolna obcięta funkcja układu kwantowego z energiami wymiernymi

Rozważmy układ kwantowy z energiami ${\displaystyle E_{i}}$ i stanami własnymi ${\displaystyle \psi _{i}}$

${\displaystyle H\psi _{i}=E_{i}\psi _{i}}$

i niech energie te będą wymiernymi częściami pewnej stałej ${\displaystyle C}$

${\displaystyle E_{i}=C{\frac {M_{i}}{N_{i}}},}$

np. dla atomu wodoru ${\displaystyle M_{i}=1,\;N_{i}=i^{2},\;C=-13{,}6\,{\text{eV}}.}$

Wtedy obcięte (do ${\displaystyle N_{\max }}$ stanów) rozwiązanie równania Schrōdingera zależnego od czasu jest dane przez

${\displaystyle \Psi (t)=\sum _{i=0}^{N_{\max }}a_{i}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} E_{i}t/\hbar }\psi _{i}.}$

Niech ${\displaystyle L_{\textrm {cm}}}$ będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością wszystkich liczb ${\displaystyle N_{i},}$ a ${\displaystyle L_{\textrm {cd}}}$ największym wspólnym dzielnikiem wszystkich liczb ${\displaystyle M_{i},}$ wtedy dla każdego ${\displaystyle N_{i}}$ dzielenie ${\displaystyle {L_{\textrm {cm}}}/N_{i}}$ jest liczba całkowitą, dla każdego ${\displaystyle M_{i}}$ dzielenie ${\displaystyle M_{i}/L_{\textrm {cd}}}$ jest liczba całkowitą a ${\displaystyle 2\pi M_{i}L_{\textrm {cm}}/(N_{i}L_{\textrm {cd}})}$ jest całkowitą wielokrotnością kąta pełnego ${\displaystyle 2\pi }$ i

${\displaystyle \Psi (t)=\Psi (t+T)}$

po czasie pełnego ożywienia

${\displaystyle T={\frac {2\pi \hbar }{L_{\mathrm {cd} }C}}L_{\mathrm {cm} }.}$

Dla układu kwantowego tak małego jak wodór i ${\displaystyle N_{max}}$ tak małego jak 100 ${\displaystyle L_{\textrm {cm}}}$ jest tak duża, że może upłynąć ${\displaystyle 1{,}5\cdot 10^{58}}$ lat, zanim ten układ odżyje w pełni.

W zależności od stanu początkowego, podczas tego czasu wielokrotnie układ może być w stanie ${\displaystyle \psi (t)}$ bardzo bliskim stanowi początkowemu, który eksperymentalnie będzie nierozróżnialny (przy obecnym zaawansowaniu technik eksperymentalnych) od stanu początkowego.

Uderzającą konsekwencją jest to że żaden komputer o skończonej bitowo długości słowa nie może propagować dokładnie funkcji falowej przez dowolnie długi czas. Jeśli liczba procesorowa jest n-bitową liczbą zmienooprzecinkową wtedy energia jest na przykład równa 2,34576893 = 234576893/100000000 i jest dokładnie liczbą wymierną i pełne ożywienie następuje dla dowolnej funkcji falowej dowolnego układu kwantowego po czasie ${\displaystyle t/2\pi =100000000}$ która jest maksymalnym jej wykładnikiem, ale nie musi to być prawdą dla wszystkich układów kwantowych lub inaczej wszystkie układy kwantowe ulegają dokładnemu i pełnemu ożywieniu numerycznie.

W układzie fizycznym którego energie są wymierne, tzn. kiedy istnieje dokładne pełne ożywienie funkcji falowej jego istnienie natychmiast udowadnia tzw. kwantowe twierdzenie Poincaré o powrocie systemu fizycznego do stanu początkowego^[5] i czas pełnego ożywienia jest równy czasowi powrotu Poincaré. Podczas kiedy liczby wymierne są zbiorem gęstym w zbiorze liczb rzeczywistych a dowolna funkcja liczby kwantowej może być przybliżona dowolnie dokładnie przez aproksymanty Padé ze współczynnikami o dowolnej dokładności dziesiątkowej w ciągu dowolnie długiego czasu każdy system kwantowy (podobnie jak klasyczny) ożywa prawie dokładnie, tzn. wraca dowolnie blisko swojego stanu początkowego. Znaczy to także ze powrót Poincaré i pełne ożywienie funkcji falowej są matematycznie tym samym, ale jest powszechnie przyjęte że powrót jest nazywany pełnym ożywieniem jeśli zachodzi po realistycznym i fizycznie mierzalnym czasie który możliwy jest do wyznaczenia przez realistyczny przyrząd pomiarowy a to zdarza się tylko dla bardzo specjalnego widma energetycznego które posiada podstawowy, duży odstęp energetyczny i którego energie są dowolnie całkowitymi i niekoniecznie równo rozłożonymi (jak dla oscylatory harmonicznego) wielokrotnościami.

Przypisy